[论文解读] Palindromic width of wreath products, metabelian groups, and max-n solvable groups
本文证明了当 $G$ 具有有限回文宽度时，半直积 $G \wr \mathbb{Z}^r$、有限生成的可解群（满足极大条件）以及有限生成的幂零阶数为 2 的群（即幂零群）均具有有限回文宽度。文章为 $G \wr \mathbb{Z}^r$ 提供了显式的上界，给出了一个自包含的证明，表明所有有限生成的可解群均具有有限回文宽度，且通过换位子与回文长度的论证，将结果推广至满足 max-n 条件的可解群。
A group has finite palindromic width if there exists $n$ such that every element can be expressed as a product of $n$ or fewer palindromic words. We show that if $G$ has finite palindromic width with respect to some generating set, then so does $G \wr \mathbb{Z}^{r}$. We also give a new, self-contained, proof that finitely generated metabelian groups have finite palindromic width. Finally, we show that solvable groups satisfying the maximal condition on normal subgroups (max-n) have finite palindromic width.
研究动机与目标
- 证明当 $G$ 具有有限回文宽度时，半直积 $G \wr \mathbb{Z}^r$ 具有有限回文宽度。
- 提供一个自包含的证明，表明所有有限生成的可解群均具有有限回文宽度，且不依赖于先前的结果。
- 将有限回文宽度的结果推广至满足 max-n 条件的有限生成可解群。
提出的方法
- 通过将 $\mathbb{Z}^r$ 上具有有限支集的函数分解为对称分量，推导 $G \wr \mathbb{Z}^r$ 中回文宽度的上界。
- 引入并证明引理 2.1，该引理将从 $\mathbb{Z}^r$ 到群的函数表示为两个对称函数的乘积。
- 利用取值于环的函数与斜对称分解，推广对称函数乘积结果。
- 通过 Akhavan-Malayeri 引理分析可解群中换位子的表达式，以控制导出子群中回文长度的上界。
- 利用回文长度在共轭下的不变性，控制正规子群中元素的长度。
- 结合群的交换化 $G/G'$ 的有限回文宽度与导出子群 $G'$ 中回文长度的有界性，得出整个群具有有限回文宽度。
实验结果
研究问题
- RQ1当 $G$ 具有有限回文宽度时，半直积 $G \wr \mathbb{Z}^r$ 是否具有有限回文宽度？其紧致上界是什么？
- RQ2能否通过一个自包含的证明，独立于先前结果，建立所有有限生成可解群的有限回文宽度？
- RQ3满足 max-n 条件的有限生成可解群是否对某个有限生成集具有有限回文宽度？
- RQ4在有限生成群中，有限换位子宽度与有限回文宽度之间是否存在关系？
- RQ5自由可解群（秩为 $r$）关于其标准生成集的回文宽度是多少？
主要发现
- 关于生成集 $A \cup S$，$G \wr \mathbb{Z}^r$ 的回文宽度至多为 $3r + \mathrm{PW}(G,A)$，其中 $S$ 是 $\mathbb{Z}^r$ 的标准生成集。
- 当 $r=1$ 时，$G \wr \mathbb{Z}$ 的回文宽度至多为 $2 + \mathrm{PW}(G,A)$，且对 $\mathbb{Z} \wr \mathbb{Z}$ 可取等号，其回文宽度恰好为 3。
- 本文提供了自包含的证明，表明所有有限生成的可解群均具有有限回文宽度，且不依赖于 Bardakov 与 Gongopadhyay 的早期工作。
- 满足 max-n 条件的有限生成可解群具有有限回文宽度，该结论通过使用换位子与共轭控制导出列中元素的回文长度上界而得到证明。
- 满足 max-n 条件的有限生成可解群的交换化 $G/G'$ 的回文宽度为最小生成集的大小。
- 该结果表明存在有限生成但非有界生成的群，其具有有限回文宽度，例如 $\mathbb{Z} \wr \mathbb{Z}$。
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