[论文解读] Pansu pullback and rigidity of mappings between Carnot groups

Bruce Kleiner, Stefan Müller+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 39被引用 5

一句话总结

本文引入了Sobolev映射在Carnot群之间所对应的Pansu上拉回微分形式，证明了在特定权重条件下，上拉回与外微分之间存在部分交换关系。关键贡献在于建立了涉及Pansu上拉回与外微分的分布恒等式，从而在子黎曼几何中实现了对拟共形映射与Sobolev映射的新刚性与正则性结果。

ABSTRACT

This is the first in a series of papers on geometric mapping theory in Carnot groups -- and more generally equiregular manifolds -- in which we prove a number of new structural results for Sobolev (in particular quasisymmetric) mappings, establishing (partial) rigidity or (partial) regularity theorems, depending on the context.

研究动机与目标

• 建立一种新的分析工具——Sobolev映射在Carnot群之间的Pansu上拉回，将经典微分形式的上拉回推广至非光滑、度量测度设置。
• 通过引入尊重分层李群结构的分布版本上拉回，克服拟共形与Sobolev映射中正则性有限的挑战。
• 在Carnot群上微分形式的特定权重条件下，证明经典上拉回与外微分交换性的部分类比。
• 通过利用上拉回恒等式中的约束，为Carnot群及等秩流形上的几何映射理论中的刚性与正则性定理奠定基础。
• 通过Pansu微分定理的局部自相似缩放与局部适配标架，将理论从Carnot群推广至一般等秩子黎曼流形。

提出的方法

• 通过Sobolev映射 $ f: G \to G' $ 之间的近似Pansu微分，定义光滑微分形式 $ \rho $ 的Pansu上拉回 $ f_P^*\rho $。
• 利用Carnot群与等秩流形上微分形式的权重概念，其定义基于切丛的滤子结构及膨胀作用。
• 建立分布恒等式：当 $ p > \nu $ 时，若 $ \omega \in \Omega^k(U') $ 且 $ \eta \in \Omega^{N-k-1}_c(U) $ 满足 $ \operatorname{wt}(\omega) + \operatorname{wt}(d\eta) \leq -\nu $ 与 $ \operatorname{wt}(d\omega) + \operatorname{wt}(\eta) \leq -\nu $，则有 $ \int_U (f_P^*d\omega) \wedge \eta + (-1)^k \int_U f_P^*\omega \wedge d\eta = 0 $。
• 通过使用缩放族 $ \hat{f}^{x,\rho} = (\delta_\rho^{f(x)'})^{-1} \circ f \circ \delta_\rho^x $ 的光滑化与缩放论证证明该恒等式，该族在 $ \rho \to 0 $ 时收敛于Pansu微分。
• 利用控制收敛定理取极限，其控制可积函数由Pansu微分与 $ f $ 的Sobolev正则性导出。
• 通过使用局部适配标架及Pansu微分几乎处处存在的事实，将结果推广至等秩流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将欧几里得空间中上拉回与外微分的经典交换性推广至Sobolev映射在Carnot群之间的映射，其中映射本身并非先验光滑？
• RQ2 何种微分形式的权重条件可确保Pansu上拉回在分布意义下与外微分交换？
• RQ3 Pansu上拉回如何用于推导子黎曼几何中拟共形与Sobolev映射的刚性或正则性结果？
• RQ4 该上拉回恒等式在多大程度上可从Carnot群推广至一般等秩子黎曼流形？
• RQ5 该上拉回恒等式对Pansu微分施加了何种结构性约束，特别是关于振荡行为或偏微分方程方面？

主要发现

• 对于 $ W^{1,p} $ 映射 $ f: G \to G' $，$ p > \nu $，其微分形式 $ \omega $ 的Pansu上拉回在权重满足 $ \operatorname{wt}(\omega) + \operatorname{wt}(d\eta) \leq -\nu $ 与 $ \operatorname{wt}(d\omega) + \operatorname{wt}(\eta) \leq -\nu $ 时，与外微分满足分布恒等式。
• 恒等式 $ \int_U (f_P^*d\omega) \wedge \eta + (-1)^k \int_U f_P^*\omega \wedge d\eta = 0 $ 对所有满足权重条件的紧支紧支光滑 $ (N-k-1) $-形式 $ \eta $ 成立，为映射提供了新约束。
• 该结果通过使用收敛于Pansu微分的缩放映射 $ \hat{f}^{x,\rho} $ 的极限论证建立，依赖于由Pansu微分导出的可积控制函数的存在性。
• 通过使用局部适配标架及Pansu微分几乎处处存在的事实，该上拉回定理可推广至等秩子黎曼流形。
• 该方法允许在后续工作中推导出刚性与正则性定理，因为该恒等式提供了一种机制，可排除振荡行为并强制Pansu微分满足PDE型约束。
• 权重条件确保上拉回与外微分的相互作用方式在某种程度上模拟光滑情形，即使对于Sobolev映射，上拉回通常不与 $ d $ 交换。