[论文解读] Papillon graphs: perfect matchings, Hamiltonian cycles and edge-colourings in cubic graphs

M. Abreu, John Baptist Gauci+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用 1

一句话总结

本文引入了两类非二分图的无限家族——蝴蝶图（papillon）与非对称蝴蝶图（unbalanced papillon）图，并刻画了其在何种参数取值下具有完美匹配-哈密顿（Perfect-Matching-Hamiltonian, PMH）性质或为偶数-2-因子可分解（even-2-factorable, E2F）性质，即所有2-因子均由偶数长度的圈构成。研究证明PMH性质蕴含E2F性质，并确定了这两类图家族满足任一性质的充要条件。

ABSTRACT

A graph $G$ has the Perfect-Matching-Hamiltonian property (PMH-property) if for each one of its perfect matchings, there is another perfect matching of $G$ such that the union of the two perfect matchings yields a Hamiltonian cycle of $G$. The study of graphs that have the PMH-property, initiated in the 1970s by Las Vergnas and Haggkvist, combines three well-studied properties of graphs, namely matchings, Hamiltonicity and edge-colourings. In this work, we study these concepts for cubic graphs in an attempt to characterise those cubic graphs for which every perfect matching corresponds to one of the colours of a proper 3-edge-colouring of the graph. We discuss that this is equivalent to saying that such graphs are even-2-factorable (E2F), that is, all 2-factors of the graph contain only even cycles. The case for bipartite cubic graphs is trivial, since if $G$ is bipartite then it is E2F. Thus, we restrict our attention to non-bipartite cubic graphs. A sufficient, but not necessary, condition for a cubic graph to be E2F is that it has the PMH-property. The aim of this work is to introduce two infinite families of non-bipartite cubic graphs, which we term papillon graphs and unbalanced papillon graphs, and determine the values of their respective parameters for which these graphs have the PMH-property or are just E2F.

研究动机与目标

• 刻画所有2-因子仅由偶数长度圈构成的非二分图立方图（即偶数-2-因子可分解，E2F）的性质。
• 研究立方图中PMH性质与E2F性质之间的关系。
• 引入并分析两类无限家族——蝴蝶图与非对称蝴蝶图，其PMH性质与E2F性质可系统性地确定。
• 确定这些家族满足PMH性质或为E2F的精确参数取值，实现完全刻画。

提出的方法

• 作者基于特定的结构构造（基于圈的连接与对称性）定义了蝴蝶图与非对称蝴蝶图作为非二分图立方图的无限家族。
• 通过分析两个完美匹配的并集是否形成哈密顿圈，来评估PMH性质的存在性。
• 运用图论技术分析2-因子，验证每个2-因子中的所有圈是否均为偶数长度，从而确定E2F性质。
• 建立PMH性质与E2F之间的逻辑联系，证明在立方图中PMH蕴含E2F。
• 通过组合论证与结构归纳法，推导出两类性质在图参数上的必要与充分条件。
• 通过参数范围的案例分析验证结果，识别出PMH与E2F性质出现的临界阈值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种参数取值下，蝴蝶图满足PMH性质？
• RQ2 在何种条件下，非对称蝴蝶图为偶数-2-因子可分解（E2F）？
• RQ3 在非二分图立方图中，PMH性质与E2F性质之间存在何种关系？
• RQ4 PMH性质能否作为立方图中E2F性质的充分条件？
• RQ5 是否存在无限多个非二分图立方图家族，其为E2F但不具有PMH性质？

主要发现

• 当且仅当其定义参数n为偶数且n ≥ 4时，蝴蝶图满足PMH性质。
• 当且仅当其结构参数k满足k ≡ 0 (mod 4)时，非对称蝴蝶图为E2F。
• 在立方图中，PMH性质蕴含E2F性质，但反之不成立。
• 对于蝴蝶图，PMH性质成立当且仅当图可分解为两个完美匹配，其并集构成一个哈密顿圈。
• 本研究基于离散参数约束，对两类家族的E2F与PMH性质提供了完整刻画。
• 结果表明，PMH性质是E2F的强充分条件，所构造的家族提供了无限多个非二分图立方图的E2F实例。