[论文解读] Paquets d'Arthur discrets pour un groupe classique p-adique

Colette Mœglin|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用 11

一句话总结

本文通过 Langlands-Luminy 参数 $\psi: W_F \times SL(2,\mathbb{C}) \to {}^L G$ 构造了经典 $p$-进李群的离散亚瑟包，其中 $\psi$ 是离散的（即其在 ${}^L G^0$ 中的中心化子是有限的）。该构造为 $Cent_{{}^L G}(\psi)$ 的每个特征 $\epsilon$ 分配一个表示 $\pi(\psi, \epsilon)$，该表示属于 Grothendieck 群，通常不是不可约的。关键结果是加权和 $\sum_\epsilon \epsilon(z)\pi(\psi, \epsilon)$ 在内规转移下保持稳定，前提是相应的 $\psi \circ \Delta$-包满足稳定性，从而推广了早期关于内规转移与 Langlands 参数的结果。

ABSTRACT

In this paper we construct some packets of representations which have to correspond to relatively general Arthurs packets; this is for any classical group $G$ over a p-adic field $F$. An Arthur's packet correspond to a map $ψ$ from $W_{F} imes SL(2,{\mathbb C}) imes SL(2,{\mathbb C})$ into the $L$-group of $G$. The packets we consider here have the property that the centralizer of $ψ$ in the dual group is a finite groupe. Our construction is a combinatorial one which reduce the study of the representations in such a packet to tempered representation of eventualy smaller groups; in fact we give a precise description of the representations associated to $ψ$ and a character of the centralizer of $ψ$ in the L-group in the Grothendieck group. Stability properties follow easily from analogous properties for the tempered packet which enter the situation.

研究动机与目标

• 通过离散的 Langlands-Luminy 参数 $\psi: W_F \times SL(2,\mathbb{C}) \to {}^L G$ 构造经典 $p$-进李群的离散亚瑟包。
• 通过 $Cent_{{}^L G}(\psi)$ 的特征对包中表示进行参数化，即使所得表示通常不是不可约的。
• 证明加权和 $\sum_\epsilon \epsilon(z)\pi(\psi, \epsilon)$ 是一个稳定分布，确保与内规转移的相容性。
• 将 Aubert-Schneider-Stuhler 对偶性与 Iwahori-Matsumoto 对合推广至非温和、非初等情形。
• 通过将 $\psi$ 分解为不可约分量 $\rho \otimes Rep_a \otimes Rep_b$，建立亚瑟包的组合框架，超越初等情形。

提出的方法

• 将参数 $\psi$ 分解为不可约分量 $\rho \otimes Rep_a \otimes Rep_b$，其中 $\rho$ 是 $W_F$ 的自对偶表示，并定义 $A = (a+b)/2 - 1$，$B = |a-b|$，$\zeta = \text{sign}(a-b)$。
• 将集合 $Jord(\psi)$ 定义为该分解所导出的四元组 $(\rho, A, B, \zeta)$ 的集合。
• 将 $Cent_{{}^L G}(\psi)$ 的特征 $\epsilon$ 与函数 $Jord(\psi) \to \{\pm 1\}$ 一一对应。
• 通过推广 Aubert-Schneider-Stuhler 对偶性的公式，在有限长度表示的 Grothendieck 群中构造 $\pi(\psi, \epsilon)$。
• 利用 Jacquet 蕴涵函子与内规转移，将 $\pi(\psi, \epsilon)$ 与关联于 $\psi \circ \Delta$ 的表示联系起来，其中 $\Delta$ 是 $SL(2,\mathbb{C})$ 的对角嵌入。
• 通过证明该和在 Jacquet 蕴涵函子下保持不变，并继承自 $\psi \circ \Delta$-包的稳定性，从而证明和 $\sum_\epsilon \epsilon(z)\pi(\psi, \epsilon)$ 的稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 Langlands 参数 $\psi$ 不是初等时，如何为经典 $p$-进李群构造离散亚瑟包？
• RQ2 Aubert-Schneider-Stuhler 对偶性应如何推广至亚瑟包中非温和、非不可约表示的情形？
• RQ3 在何种条件下，和 $\sum_\epsilon \epsilon(z)\pi(\psi, \epsilon)$ 是一个稳定分布，以确保与内规转移的相容性？
• RQ4 当 $\psi$ 在第二个 $SL(2,\mathbb{C})$ 因子上平凡时，表示 $\pi(\psi, \epsilon)$ 如何表现？它们在何时消失？
• RQ5 即使所得的 $\pi(\psi, \epsilon)$ 不可约，中心化子 $Cent_{{}^L G}(\psi)$ 是否仍可用于参数化表示？

主要发现

• 该构造为 $Cent_{{}^L G}(\psi)$ 的每个特征 $\epsilon$ 分配一个表示 $\pi(\psi, \epsilon)$，该表示属于 Grothendieck 群，通常不是不可约的。
• 若相应的 $\psi \circ \Delta$-包满足稳定性，则和 $\sum_\epsilon \epsilon(z)\pi(\psi, \epsilon)$ 是一个稳定分布，此结论通过其在 Jacquet 蕴涵函子下的不变性得以证明。
• 在 $Cent_{{}^L G}(\psi) \to Cent_{{}^L G}(\psi \circ \Delta)$ 是同构的初等情形下，映射 $\epsilon \mapsto \pi(\psi, \epsilon)$ 是单射，且表示均为不可约。
• 对于 $G = SO(2n+1)$ 且 $\psi$ 因式分解通过 Frobenius 的情形，该和的稳定性由 [14] 与 [9] 中的结果保证，与已知构造一致。
• 一个显式例子表明，对某些 $\psi$ 与 $\epsilon$，有 $\pi(\psi, \epsilon) = 0$，例如当 $\psi$ 对应于 $SO(9,F)$ 且 $Jord(\psi) = \{(tr_{W_F}, 3/2, 3/2, +), (tr_{W_F}, 1/2, 1/2, +), (tr_{W_F}, 1/2, 1/2, -)\}$，$\epsilon = (-, +, -)$ 时，这与内规转移一致。
• 该方法推广了 Iwahori-Matsumoto 对合，并将 Aubert-Schneider-Stuhler 对偶性扩展至非温和、非初等参数，为亚瑟包提供了组合框架。