[论文解读] Paquets d'Arthur pour les groupes classiques; point de vue combinatoire

Colette Mœglin|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2006

Advanced Algebra and Geometry被引用 12

一句话总结

本文通过分析诱导表示的分解，完成了对 p-进经典群的 Arthur 包的组合描述，证明了诱导表示 $\mathrm{Sp}(b,\mathrm{St}(\rho,a)) \times \pi_0$ 的长度至多为 $\min(a,b)+1$，且该界是紧的。它建立了某些诱导表示的不可约性，并在不预先假设单位性的情况下，确认了 Arthur 包的结构与单位性及 Langlands 对应的一致性。

ABSTRACT

The aim of this work, is to describe fairly explicitly a general Arthur's packet for a classical group. The problem to be solved, here, is the decompostion of induced representations. Following previous work on general linear group, such a description implies the needed transfer for the representations in Arthur's packet.

研究动机与目标

• 完成对 p-进经典群的 Arthur 包的组合分类，建立在 [14] 的前期工作基础上。
• 分析形如 $\mathrm{Sp}(b,\mathrm{St}(\rho,a)) \times \pi_0$ 的诱导表示的可约性与分解，其中 $\pi_0$ 是离散系列表示。
• 证明此类诱导表示的长度受 $\min(a,b)+1$ 限制，且该界是紧的。
• 在 Langlands 参数满足特定条件时，建立某些诱导表示的不可约性。
• 确认 Arthur 包的结构与单位性及 Langlands 对应一致，即使在不预先假设单位性的情况下也成立。

提出的方法

• 利用 Langlands 对应，将 $\mathrm{GL}(n^*,F)$ 的不可约单位表示与 $L$-参数 $\psi: W_F \times \mathrm{SL}(2,\mathbb{C}) \times \mathrm{SL}(2,\mathbb{C}) \to {}^L G$ 关联起来，其中 $\psi$ 在 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 分量上连续且代数。
• 将 $\mathrm{Sp}(b,\mathrm{St}(\rho,a))$ 定义为包含 Steinberg 表示 $\mathrm{St}(\rho,a)$ 和绝对值行列式 $|\,|$ 的标准诱导表示的唯一不可约子表示。
• 应用 Jacquet 模 functor 分析诱导表示的结构，并通过子商的唯一性推导出不可约性。
• 使用参数化 $\rho \otimes [a] \otimes [b]$ 将 $W_F \times \mathrm{SL}(2,\mathbb{C}) \times \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$ 的不可约表示与 $\mathrm{Sp}(b,\mathrm{St}(\rho,a))$ 关联。
• 应用广义 Aubert-Schneider-Stuhler 对偶理论及 $L$-包的结构，约束诱导表示中可能的分量。
• 采用基于诱导表示结构及其 Jacquet 模支持的递归论证，以证明不可约性并界定长度。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 Arthur 包中的离散系列 $\pi_0$，诱导表示 $\mathrm{Sp}(b,\mathrm{St}(\rho,a)) \times \pi_0$ 的最大可能长度是多少？
• RQ2 在何种条件下，诱导表示 $\mathrm{Sp}(b,\mathrm{St}(\rho,a)) \times \pi_0$ 是不可约的？
• RQ3 诱导表示的结构如何依赖于与 $\pi_0$ 关联的 Langlands 参数 $\psi_0$？
• RQ4 即使不假设单位性，能否完全用 $L$-参数的组合学描述诱导表示的分解？
• RQ5 条件 $\rho \otimes [a] \otimes [b]$ 不通过 $G$ 的 $L$-群这一事实，在决定不可约性中起什么作用？

主要发现

• 诱导表示 $\mathrm{Sp}(b,\mathrm{St}(\rho,a)) \times \pi_0$ 的长度至多为 $\min(a,b) + 1$，且该界是紧的。
• 当参数 $\rho \otimes [a] \otimes [b]$ 不通过 $G$ 的 $L$-群时，诱导表示 $\mathrm{Sp}(b,\mathrm{St}(\rho,a)) \times \pi_0$ 是不可约的，前提是满足本文的条件。
• 当参数 $\rho \otimes [a] \otimes [b]$ 通过 $G$ 的 $L$-群时，诱导表示仍分解为不可约分量的直和，且长度受 $\min(a,b) + 1$ 限制，不可约性在多重复制下保持不变。
• 通过 Jacquet 模滤过中子商的唯一性，建立了诱导表示的不可约性，该方法依赖于 Jacquet 赋函子的正合性。
• 证明确认，即使不预先假设初始表示的单位性，诱导表示的分解也完全由 $L$-参数和 Arthur 包的结构决定。
• 本文通过证明诱导表示虽缺乏单位性先验知识但仍是半单的，解决了关键的技术障碍，利用了 $L$-包结构和对偶性。