[论文解读] Para-Hermitian and Para-Quaternionic manifolds

Stefan Ivanov, Simeon Zamkovoy|ArXiv.org|Oct 26, 2003

Algebraic and Geometric Analysis被引用 22

一句话总结

本文引入了几乎para-赫尔米特流形上的典范para-赫尔米特联络，并在4维中建立了Apostolov-Gauduchon对Goldberg-Sachs定理的推广的para-赫尔米特类比。证明了近para-凯勒流形的Nijenhuis张量关于典范联络是平行的，构建了Kodaira-Thurston流形和Inoe流形上的超-para复结构，并提出了新的反自对偶中性度量，其中包括一个不是局部共形超-para-凯勒的度量。

ABSTRACT

A set of canonical parahermitian connections on an almost paraHermitian manifold is defined. ParaHermitian version of the Apostolov-Gauduchon generalization of the Goldberg-Sachs theorem in General Relativity is given. It is proved that the Nijenhuis tensor of a Nearly paraKähler manifolds is parallel with respect to the canonical connection. Salamon's twistor construction on quaternionic manifold is adapted to the paraquaternionic case. A hyper-paracomplex structure is constructed on Kodaira-Thurston (properly elliptic) surfaces as well as on the Inoe surfaces modeled on $Sol^4_1$. A locally conformally flat hyper-paraKähler (hypersymplectic) structure with parallel Lee form on Kodaira-Thurston surfaces is obtained. Anti-self-dual non-Weyl flat neutral metric on Inoe surfaces modeled on $Sol^4_1$ is presented. An example of anti-self-dual neutral metric which is not locally conformally hyper-paraKähler is constructed.

研究动机与目标

• 发展4维广义相对论中Apostolov-Gauduchon对Goldberg-Sachs定理推广的para-赫尔米特类比。
• 在几乎para-赫尔米特流形上定义典范para-赫尔米特联络，并研究其曲率与Ricci形式。
• 在Kodaira-Thurston流形和Inoe流形上构建超-para复结构与超-para-凯勒结构，这些流形不具有标准的(para)凯勒结构。
• 在紧致4流形上提出新的反自对偶中性度量的例子，包括一个不是局部共形超-para-凯勒的度量。
• 将Salamon的扭量构造推广至para四元数设置，并证明在反射空间与扭量空间上相关几乎复/para复结构的可积性。

提出的方法

• 通过Nijenhuis张量与无 torsion 条件，在几乎para-赫尔米特流形上定义一组典范para-赫尔米特联络。
• 利用Bismut联络与Lee形式的性质，将几乎超-para复结构的可积性与中性度量共形类的反自对偶性联系起来。
• 通过可解李群上的不变结构，在Kodaira-Thurston流形 $M = S^1 \times \widetilde{SL(2,\mathbb{R})}/\Gamma$ 和基于 $Sol^4_1$ 的Inoe流形上构造超-para复结构。
• 对具有中性度量的4流形应用反射空间构造，生成具有受控Lee形式与曲率条件的几乎para-赫尔米特结构。
• 通过利用无 torsion 联络的水平分布，将Salamon的扭量理论推广至para四元数流形，从而在 $Z^+$ 和 $Z^-$ 上定义可积的几乎复/para复结构。
• 通过曲率恒等式验证所得到结构的可积性，证明para四元数结构下 $S(R) = 0$，这与四元数情形类似。

实验结果

研究问题

• RQ1 4维中Apostolov-Gauduchon对Goldberg-Sachs定理推广的para-赫尔米特类比是什么？
• RQ2 近para-凯勒流形的Nijenhuis张量在何种条件下关于典范联络是平行的？
• RQ3 能否在Kodaira-Thurston流形与Inoe流形上构造超-para复结构，尽管它们不具有(para)凯勒结构？
• RQ4 在4流形上，何种条件下几乎超-para复结构会导致中性度量共形类的反自对偶性？
• RQ5 是否存在不是局部共形超-para-凯勒的反自对偶中性度量的例子？

主要发现

• 近para-凯勒流形的Nijenhuis张量关于典范para-赫尔米特联络是平行的。
• 在4维para-赫尔米特爱因斯坦流形上，基本2-形式是正Weyl张量的特征形式。
• Kodaira-Thurston流形具有一个 $\nabla^g$-平行Lee形式的超-para复结构，并且局部共形等价于平坦的超-para-凯勒（超对称）结构。
• 基于 $Sol^4_1$ 的Inoe流形具有一个反自对偶的非Weyl平坦中性度量的超-para复结构。
• 具有中性度量的4流形的反射空间根据标量曲率与参数 $t$ 的不同，可赋予近para-凯勒与几乎para-赫尔米特结构，且对 $ts$ 有明确条件。
• 构造了一个不是局部共形超-para-凯勒的反自对偶中性度量的例子，表明此类度量存在于共形超-para-凯勒类之外。