[论文解读] Para-quaternionic reduction

Srdjan Vukmirović|ArXiv.org|Apr 27, 2003

Advanced Differential Geometry Research参考文献 5被引用 15

一句话总结

本文发展了para-quaternionic Kähler与para-hyperKähler流形的理论，分别通过仿射群 $\mathrm{Sp}(n,\mathbb{R})\oplus\mathrm{Sp}(1,\mathbb{R})$ 与 $\mathrm{Sp}(n,\mathbb{R})$ 的Holonomy群进行刻画。本文建立了类似于辛和hyperKähler约化的约化程序，证明了对para-quaternionic Kähler流形关于 $\mathbb{R}^+$ 的自由等距作用进行商化后，可得到一个新的para-quaternionic Kähler流形，并在4维情形给出了显式例子。

ABSTRACT

The pseudo-Riemannian manifold $M=(M^{4n},g), n \geq 2$ is para-quaternionic K\" ahler if $hol(M) \subset sp(n, \RR) \oplus sp(1, \RR).$ If $hol(M) \subset sp(n, \RR),$ than the manifold $M$ is called para-hyperK\" ahler. The other possible definitions of these manifolds use certain parallel para-quaternionic structures in $\End (TM),$ similarly to the quaternionic case. In order to relate these different definitions we study para-quaternionic algebras in details. We describe the reduction method for the para-quaternionic K\" ahler and para-hyperK\" ahler manifolds and give some examples. The decomposition of a curvature tensor of the para-quaternionic type is also described.

研究动机与目标

• 通过Holonomy群刻画系统发展para-quaternionic Kähler与para-hyperKähler流形的理论。
• 为para-quaternionic结构建立类似于辛和hyperKähler约化的约化程序。
• 为para-quaternionic类型的张量提供曲率分解，扩展quaternionic情形下的结果。
• 通过约化构造para-quaternionic Kähler流形的显式例子，尤其关注4维情形。
• 探讨para-quaternions的几何与代数性质，包括其在切丛上定义结构的作用。

提出的方法

• 通过Holonomy $\mathrm{Hol}(M) \subset \mathrm{Sp}(n,\mathbb{R})\oplus\mathrm{Sp}(1,\mathbb{R})$ 刻画para-quaternionic Kähler流形，通过 $\mathrm{Hol}(M) \subset \mathrm{Sp}(n,\mathbb{R})$ 刻画para-hyperKähler流形。
• 利用para-quaternions $\tilde{\mathbb{H}} = C(1,1)$ 的代数结构，其生成元满足 $i^2 = -1$，$j^2 = k^2 = 1$，$ij = -ji = -k$，在切丛上定义自同态丛。
• 在李群 $G \cong \mathbb{R}^+$ 作用于流形且保持para-quaternionic结构的前提下，应用矩映射形式化。
• 定义约化流形 $\tilde{M} = \mathcal{K}/G$，其中 $\mathcal{K} = \{p \in M \mid f(p) = 0\}$，$f$ 为取值于 $\mathfrak{g}^*$ 的矩映射。
• 证明在 $\tilde{M}$ 上诱导的几乎Hermitian para-quaternionic结构 $\tilde{\Omega}$ 是平行的，因此 $\tilde{M}$ 是para-quaternionic Kähler流形。
• 利用曲率分解定理（定理4.1与4.2）分析para-quaternionic类型的曲率张量，并在例子中验证Osserman性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过Holonomy群刻画para-quaternionic Kähler与para-hyperKähler流形？
• RQ2 para-quaternionic Kähler流形的适当约化程序是什么，其与辛和hyperKähler约化的类比关系如何？
• RQ3 para-quaternionic流形的曲率张量如何分解，其与quaternionic情形相比有何异同？
• RQ4 能否通过约化构造para-quaternionic Kähler流形的显式例子，其几何性质如何？
• RQ5 在何种条件下约化流形是点态Osserman的，何时可能不是整体Osserman的？

主要发现

• Para-quaternionic Kähler流形由Holonomy $\mathrm{Hol}(M) \subset \mathrm{Sp}(n,\mathbb{R})\oplus\mathrm{Sp}(1,\mathbb{R})$ 刻画，para-hyperKähler流形由 $\mathrm{Hol}(M) \subset \mathrm{Sp}(n,\mathbb{R})$ 刻画，两者维数均为 $4n$，签名 $(2n,2n)$。
• Para-quaternionic Kähler流形的曲率张量在 $\mathrm{Sp}(n,\mathbb{R})\oplus\mathrm{Sp}(1,\mathbb{R})$ 作用下分解为不可约分量，其显式分解见定理4.2。
• 对para-quaternionic Kähler流形 $M$ 关于自由等距 $G \cong \mathbb{R}^+$-作用的约化，可得到一个新的para-quaternionic Kähler流形 $\tilde{M}$，该结果在定理5.2中得到证明。
• 约化流形 $\tilde{M}_{p,q} = \mathcal{K}_{p,q}/G$ 是4维、Einstein、自对偶的流形，签名 $(2,2)$，由 $\tilde{\mathbb{H}}P^2$ 通过具有权重 $p,q$ 的 $G$-作用构造而成。
• $\tilde{M}_{p,q}$ 是点态Osserman的，但不是整体Osserman或局部齐次的，如Jacobi算子特征值分析（公式26）所示。
• 在约化流形的Jacobi算子特征值公式（26）中，比值 $|h(V_X)|^2 / |V|^2$ 与单位方向 $X$ 无关，从而保证了点态Osserman性质。