[论文解读] Parabolic and elliptic systems in divergence form with variably partially BMO coefficients

Hongjie Dong, Doyoon Kim|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2009

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 15被引用 8

一句话总结

本论文建立了具有变部分BMO系数的二阶散度型抛物与椭圆系统在 $W^1_p$-可解性——其中主系数在某一空间方向上可测（每根圆柱体不同），在其余方向上具有小的平均振荡。作者通过 $L_2$-振荡估计与广义 Fefferman-Stein 定理证明了在索伯列夫空间中的存在性、唯一性与正则性，将先前关于弹性系统的结果改进，将对右端项的正则性要求从 $H^k$ 放松至 $L_p$，其中 $p > d$。关键贡献在于将可解性理论扩展至具有空间可变系数结构的系统，该结构与复合材料及层压材料密切相关。

ABSTRACT

We establish the solvability of second order divergence type parabolic systems in Sobolev spaces. The leading coefficients are assumed to be only measurable in one spatial direction on each small parabolic cylinder with the spatial direction allowed to depend on the cylinder. In the other orthogonal directions and the time variable the coefficients have locally small mean oscillations. We also obtain the corresponding $W^1_p$-solvability of second order elliptic systems in divergence form. Our results are new even for scalar equations and the proofs simplify the methods used previously in [12]

研究动机与目标

• 在每个小抛物柱体内，主系数仅在一个空间方向上可测，证明第二类散度型抛物与椭圆系统在索伯列夫空间中的唯一可解性。
• 通过允许可测方向在不同柱体之间变化，推广先前关于部分BMO系数的结果，从而更准确地模拟复杂复合材料。
• 通过将线性弹性层压材料的正则性估计中对强迫项的正则性要求从 $H^k$ ($k \geq d/2$) 放松至 $L_p$，其中 $p > d$，从而改进现有结果。
• 提出一种新的、简化的证明框架，与早期方法（特别是 [14] 中的方法）不同，并将其推广至系统情形。

提出的方法

• 利用解的导数在小柱体中的 $L_2$-振荡估计，以控制解的行为。
• 应用广义 Fefferman-Stein 定理（来自 Krylov [27]），将 $L_2$-振荡控制转化为导数的 $L_p$-可积性。
• 通过单位分解局部化问题，并在每个柱体上使用微分同胚，使可测方向与固定坐标轴对齐。
• 通过结合索伯列夫嵌入与局部解的 bootstrap 估计，推导出 $W^1_p$-空间中的先验估计。
• 对方程组求导，得到 $D_{x'}\mathbf{u}$ 与 $U$ 的估计，其中 $U$ 是与通量相关的向量场，然后对这些导数应用 $L_p$-估计。
• 使用逼近与局部化技术，将整体问题简化为在球或柱体上的局部估计，再通过覆盖论证将各部分拼接起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当主系数在每个小柱体内仅在一个空间方向上可测，且该方向在不同柱体间变化时，是否可以建立散度型抛物与椭圆系统的 $W^1_p$-可解性？
• RQ2 具有变部分BMO系数的系统可解性理论是否可将 [14] 中的标量结果推广至耦合系统情形？
• RQ3 线性弹性系统中，右端项 $\mathbf{f}$ 的正则性要求能否从 $H^k$ ($k \geq d/2$) 放松至 $L_p$，其中 $p > d$？
• RQ4 是否可能将 [14] 与 [27] 中用于标量方程的证明技术简化并推广至具有空间可变系数结构的系统情形？
• RQ5 在具有空间可变系数的系统中，$D_{x'}\mathbf{u}$ 与 $U$ 的 $L_p$-估计如何依赖于 $\mathbf{u}$ 的 $L_2$-范数与 $\mathbf{f}$ 的 $L_p$-范数？

主要发现

• 本文证明了具有变部分BMO系数的抛物与椭圆系统在 $W^1_p$-空间中存在唯一弱解。
• 解满足估计式 $\|D_{x'}\mathbf{u}\|_{W^1_p(\Omega')} + \|U\|_{W^1_p(\Omega')} \leq N(\|\mathbf{u}\|_{L_2(\Omega)} + \|\mathbf{f}\|_{L_p(\Omega)})$，其中任意 $\Omega' \subset\subset \Omega$，且常数 $N$ 依赖于 $\delta$、$m$、$p$ 以及区域。
• 解 $\mathbf{u}$ 属于 $W^1_\infty(\Omega')$，且满足 $\|\mathbf{u}\|_{W^1_\infty(\Omega')} \leq N(\|\mathbf{u}\|_{L_2(\Omega)} + \none{\mathbf{f}}_{L_p(\Omega)})$，表明在 $L_p$ 数据下具有更高正则性。
• 作者通过将 $\mathbf{f}$ 的正则性假设从 $H^k$ ($k \geq d/2$) 放松至 $L_p$，其中 $p > d$，改进了 Chipot、Kinderlehrer 与 Vergara-Caffarelli 的结果，该结果在可积性意义下为最优。
• 该方法避免使用 Campanato 空间，相较于 [14] 中的早期方法，提供了更简洁、更直接的证明，尤其适用于系统情形。
• 即使对标量方程，结果亦属新颖，且将系数类扩展至包含具有空间可变可测方向的系统，对建模纤维增强材料与层压材料具有实际意义。