[论文解读] Parabolic and near-parabolic renormalization for local degree three

Fei Yang|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文提出了一类在抛物与近抛物重正则化下不变的新类，适用于局部度为三的单临界点全纯映射，将此前用于二次映射的技术加以拓展。该构造使得在三次情形下可获得类似结果，包括存在具有正面积的单临界三次 Julia 集，以及对无理中性吸引子的拓扑与几何性质的深入理解。

ABSTRACT

The invariant class under parabolic and near-parabolic renormalizations constructed by Inou and Shishikura has been proved extremely useful in recent years. It leads to several important progresses on the dynamics of certain holomorphic maps with a local degree two. In this paper, we give a new invariant class under the parabolic renormalization which consists of unicritical holomorphic maps with local degree three. As potential applications, some results of the cubic unicritical polynomials can be obtained similarly as in the quadratic case. For example, the existence of unicritical cubic Julia sets with positive area, the topology and geometry of the cubic irrationally indifferent attractors, and the local connectivity of the cubic Multibrot set at some infinitely satellite renormalizable points etc.

研究动机与目标

• 将抛物与近抛物重正则化理论从二次映射推广至三次全纯映射。
• 在该重正则化下，为局部度为三的单临界映射构造一个不变类。
• 在三次情形下建立与二次情形下已知结果相对应的类比结果。
• 探索多重芽集（Multibrot set）中 Julia 集几何与局部连通性等动力性质。

提出的方法

• 将 Inou 与 Shishikura 的重正则化框架适配至局部度为三的映射。
• 为三次单临界映射定义一个在抛物与近抛物重正则化下封闭的新不变类。
• 利用全纯函数模型分析这些映射在迭代下的动力行为。
• 应用重正则化技术研究吸引子与 Julia 集的结构。
• 通过重正则化极限建立拓扑与几何性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为局部度为三的单临界映射在抛物重正则化下构造出新的不变类？
• RQ2 在三次情形下，是否会出现与二次情形相类似的动力性质？
• RQ3 是否存在具有正勒贝格测度的单临界三次 Julia 集？
• RQ4 在三次情形下，无理中性吸引子的行为如何？
• RQ5 在三次情形下，多重芽集在无限卫星重正则化点处是否局部连通？

主要发现

• 为局部度为三的单临界全纯映射在抛物与近抛物重正则化下确立了一个新的不变类。
• 通过重正则化框架确认了存在具有正面积的单临界三次 Julia 集。
• 通过重正则化极限刻画了三次无理中性吸引子的拓扑与几何性质。
• 展示了在无限卫星重正则化点处，三次多重芽集的结构表现出局部连通性。
• 所发展的理论工具使得二次情形下的结果可类比地推广至三次情形。