[论文解读] Parabolic Bifurcations in Complex Dimension 2

Eric Bedford, John Smillie+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用 10

一句话总结

本文将抛物型分岔理论从一复维推广至复二维，分析了在半抛物微分同胚扰动下动力集（如 $K^+$, $J^+$, $J^*$, 和 $K$）的不连续行为。通过使用 Fatou 坐标与一种新颖的正规化方法，证明了扰动映射的高阶迭代收敛于模型映射 $T_\alpha$，解释了前向时间吸引子不连续的原因，并建立了 Lavaurs 定理在二维情形的类比。

ABSTRACT

Parabolic bifurcations in one complex dimension demonstrate a wide variety of interesting dynamical phenomena. In this paper we consider parabolic bifurcations of families of diffeomorphisms in two complex dimensions. Specifically we consider a two variable family of diffeomorphisms $F_ε: M o M$ given locally by $$F_ε(x,y) = (x + x^2 + ε^2+ ..., b_εy+...)$$ where $|b_ε|<1$, and the `$...$' terms involve $x$, $y$ and $ε$.

研究动机与目标

• 将一维抛物型分岔理论推广至二维复空间，特别关注在固定点具有特征值 1 和 $|b_0|<1$ 的半抛物微分同胚。
• 分析 $\mathbb{C}^2$ 中多项式微分同胚在半抛物不动点附近的动力行为，尤其是前向与后向吸引子的演化。
• 建立 Lavaurs 定理在二维情形的类比，即证明扰动映射的高阶迭代收敛于通过 Fatou 坐标定义的模型映射 $T_\alpha$。
• 证明映射 $\epsilon \mapsto X(F_\epsilon)$（其中 $X = J^*, J^+, K^+, K$）在 $\epsilon = 0$ 处不连续，而 $X = J^-, K^-$ 保持连续。

提出的方法

• 引入正规化式 (3.1)，简化半抛物不动点附近微分同胚 $F_\epsilon$ 的局部形式。
• 定义两个 Fatou 坐标：$\varphi^\iota$ 定义在二维吸引域 $\mathcal{B}$ 上，$\varphi^o$ 定义在一维排斥叶 $\Sigma$ 上，满足函数方程 $\varphi(f(p)) = \varphi(p) + 1$。
• 构造模型映射 $T_\alpha = (\varphi^o)^{-1} \circ \tau_\alpha \circ \varphi^\iota$，其中 $\tau_\alpha(\zeta) = \zeta + \alpha$，其在 Fatou 坐标空间中表现为时间-$\alpha$ 平移。
• 利用 $\alpha$-序列 $\epsilon_j \to 0$，$n_j \to \infty$，且满足 $n_j - \pi/\epsilon_j \to \alpha$，分析高阶迭代 $F_{\epsilon_j}^{n_j}$ 的极限。
• 证明 $F_{\epsilon_j}^{n_j} \to T_\alpha$ 在 $\mathcal{B}$ 的紧子集上一致收敛，确立迭代收敛于模型映射。
• 应用 $K^+$ 和 $J^+$ 的半连续性性质，证明 $\limsup_{j\to\infty} K^+(F_{\epsilon_j}) \subset K^+(F, T_\alpha)$，将极限集与模型动力系统联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{C}^2$ 中，半抛物微分同胚的扰动下，填充 Julia 集 $K^+$, $J^+$, $J^*$, 和 $K$ 如何演化？
• RQ2 扰动映射的高阶迭代在多大程度上收敛于通过 Fatou 坐标定义的模型映射 $T_\alpha$？
• RQ3 为何映射 $\epsilon \mapsto K^+(F_\epsilon)$ 在 $\epsilon = 0$ 处不连续，而 $\epsilon \mapsto K^-(F_\epsilon)$ 保持连续？
• RQ4 Fatou 坐标在描述高维中吸引与排斥动力转换中起什么作用？
• RQ5 基域 $\mathcal{B}$ 与强稳定流形 $W^{ss}(O)$ 的几何结构如何影响分岔结构？

主要发现

• 映射 $\epsilon \mapsto K^+(F_\epsilon)$ 在 $\epsilon = 0$ 处不连续，且对任意 $\alpha$-序列有 $\limsup_{j\to\infty} K^+(F_{\epsilon_j}) \subset K^+(F, T_\alpha)$。
• 沿 $\alpha$-序列的高阶迭代 $F_{\epsilon_j}^{n_j}$ 的极限在基域 $\mathcal{B}$ 上收敛于模型映射 $T_\alpha$，将 Lavaurs 定理推广至二维复空间。
• $K^+(F, T_\alpha) \cap \mathcal{B}$ 是纤维 $\{\varphi^\iota = \text{常数}\}$ 的并集，且是 $\mathcal{B}$ 的真子集，表明并非基域中所有点都保留在前向极限集中。
• $K(F, T_\alpha) = K^-(F) \cap K^+(F, T_\alpha)$ 非空且不变，且 $J(F, T_\alpha) = \partial K^+(F, T_\alpha) \cap K^-(F)$，同时 $\mathcal{J}^*_{\alpha} \subset J(F, T_\alpha)$。
• 映射 $\epsilon \mapsto K^-(F_\epsilon)$ 在 $\epsilon = 0$ 处连续，而 $\epsilon \mapsto K^+(F_\epsilon)$ 不连续，这是由于前向方向存在非平凡动力行为。
• 动力平面上方区域的垂直平移量约为 $c_0^+ \approx -5.83$，图像中水平条带的数量约为 $8 \approx 44 / 5.83$，与平移的周期一致。