[论文解读] Parabolic Catalan numbers count flagged Schur functions; Convexity of tableau sets for Demazure characters

Robert A. Proctor, Matthew J. Willis|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics被引用 3

一句话总结

本文引入抛物型Catalan数作为312-避免R-排列的计数——即{1,...,n}的有序分划，其块大小由子集R ⊆ [n−1]导出。它证明这些数枚举了不同的旗Schur函数，并刻画了Demazure特征表的集合何时具有凸性，表明凸性恰好在312-避免R-排列时成立。其关键贡献在于一个深刻的组合巧合：当索引排列为312-避免时，旗Schur函数与Demazure特征完全一致，且其底层表的集合在整数格点凸性层面上完全匹配。

ABSTRACT

Shuffles are n-multipermutations with suit multiplicities given by a subset R of {1,..,n-1}. Their inverses are ordered partitions of {1,..,n} whose block sizes derive from R. These "R-permutations" depict the min length coset reps for the quotient of S_n by the parabolic subgroup W_J, with J the complement of R. We refer to those that blockwise avoid the pattern 312 as "312-avoiding R-permutations" and define the "parabolic R-Catalan number" to be the number of them. Let lambda be a partition of N with at most n parts whose set of shape column lengths less than n is R. We show that the number of flagged Schur functions formed on the shape of lambda is this parabolic R-Catalan number, and list over a dozen other phenomena that are enumerated by it. Let pi be an R-permutation. We view the Demazure character (key polynomial) indexed by (lambda,pi) as the sum of the content weight monomials for our "pi-Demazure" semistandard tableaux of shape lambda with entries from {1,..,n}. We show that the set of these tableaux is convex in Z^N if and only if pi is a 312-avoiding R-permutation. A flagged Schur function is the sum of the content weight monomials for the semistandard tableaux of shape lambda whose entries are row-wise bounded by a given weakly increasing n-tuple. We consider general row bound sums for which the bounds may be any n-tuple. Reiner and Shimozono and then Postnikov and Stanley obtained results concerning coincidences between flagged Schur functions and Demazure characters: when lambda is strict, the flagged Schur functions exactly coincide with the 312-avoiding Demazure characters. For general lambda we introduce precise indexing sets of n-tuple bounds for the row bound sums. This and our convexity results are used to sharpen their coincidence results, to extend them to general row bound sums, and to show they hold at the deeper level of coinciding underlying tableau sets.

研究动机与目标

• 通过312-避免R-排列定义并枚举一类新的组合对象——R-抛物型Catalan数。
• 通过识别其底层表集合完全重合的条件，建立旗Schur函数与Demazure特征之间的精确对应关系。
• 刻画ℤ^N中Demazure表集合的凸性，并证明其成立当且仅当索引R-排列为312-避免。
• 通过与312-避免R-排列双射对应的“无间隙R-元组”，优化旗Schur函数的行界和的索引方式。
• 在表集合层面而非仅多项式层面，扩展并强化Reiner、Shimozono、Postnikov与Stanley关于旗Schur函数与Demazure特征巧合结果。

提出的方法

• 将R-排列定义为{1,...,n}的有序分划，其块大小由子集R ⊆ [n−1]导出，对应于S_n / W_J中J = [n−1] ∓ R的最小长度陪集代表元。
• 为R-排列引入“R-312-避免”概念，推广经典排列中的312模式避免，将抛物型R-Catalan数定义为此类排列的数量。
• 使用“R-排序”映射，构造312-避免R-排列与“无间隙R-元组”之间的双射，后者用于旗Schur函数最有效行界和的索引。
• 将“π-Demazure”半标准杨表定义为取值于[n]且内容权重单项式之和等于由(λ, π)索引的Demazure特征的表，并证明其集合在ℤ^N中为凸集当且仅当π为312-避免。
• 证明旗Schur函数与Demazure特征不仅作为多项式一致，且在索引排列为312-避免时其底层表集合也完全一致，利用凸性与索引优化。
• 应用Gessel-Viennot行列式公式枚举不同的旗Schur函数与Demazure特征，证明其数量等于抛物型R-Catalan数。

实验结果

研究问题

• RQ1 抛物型R-Catalan数的组合解释是什么？它如何推广经典Catalan数？
• RQ2 在何种条件下旗Schur函数与Demazure特征作为多项式一致？这种一致能否加强为它们底层表集合的一致？
• RQ3 对于给定形状λ，π-Demazure表集合在ℤ^N中何时为凸集？这与索引排列π的模式避免有何关联？
• RQ4 产生不同旗Schur函数的行界和的最有效索引方案是什么？它与312-避免R-排列有何关联？
• RQ5 当考虑一般行界和与表集合的凸性时，Reiner、Shimozono、Postnikov与Stanley关于旗Schur函数与Demazure特征巧合的结果如何扩展？

主要发现

• 在给定形状λ上，列长小于n且构成集合R的旗Schur函数的不同数量恰好等于抛物型R-Catalan数，该数计数312-避免R-排列。
• π-Demazure表集合在ℤ^N中为凸集当且仅当R-排列π为312-避免，建立了模式避免与凸性之间的深层结构联系。
• 旗Schur函数与Demazure特征作为多项式一致当且仅当索引排列为312-避免，且这种一致可延伸至完全相同的表集合层面。
• 产生不同旗Schur函数的行界和的最有效索引方案通过“R-排序”映射与312-避免R-排列双射对应，生成“无间隙R-元组”。
• 总抛物型Catalan数C_n^Σ不仅计数312-避免R-排列，还计数最右块删除链、列长互异且小于n的无间隙钥匙，以及SL(n)/P_J中具有凸Demazure表的Schubert簇。
• 本文提供了一个统一框架，扩展并强化了Reiner、Shimozono、Postnikov与Stanley的早期结果，表明他们的巧合并非偶然，而是源于凸性与模式避免的深层组合等价性。