[论文解读] Parabolic conformally symplectic structures III; Invariant differential operators and complexes

Andreas Čap, Tomáš Salač|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文通过抛物接触化与Bernstein–Gelfand–Gelfand（BGG）序列，为抛物共形辛（PCS）结构构造了自然的微分复形。研究证明，对于特殊辛联络——即无 torsion 的 PCS-结构的典范联络——这些复形生成了大量不变微分算子，其上同调在复射影空间中仅在度数 0 和 2n+1 处非零，且同构于定义元素作用在表示空间上的核。

ABSTRACT

This is the last part of a series of articles on a family of geometric structures (PACS-structures) which all have an underlying almost conformally symplectic structure. While the first part of the series was devoted to the general study of these structures, the second part focused on the case that the underlying structure is conformally symplectic (PCS-structures). In that case, we obtained a close relation to parabolic contact structures via a concept of parabolic contactification. It was also shown that special symplectic connections (and thus all connections of exotic symplectic holonomy) arise as the canonical connection of such a structure. In this last part, we use parabolic contactifications and constructions related to Bernstein-Gelfand-Gelfand (BGG) sequences for parabolic contact structures, to construct sequences of differential operators naturally associated to a PCS-structure. In particular, this gives rise to a large family of complexes of differential operators associated to a special symplectic connection. In some cases, large families of complexes for more general instances of PCS-structures are obtained.

研究动机与目标

• 为抛物共形辛（PCS）结构构造自然的微分复形。
• 通过抛物接触化，将不变微分算子理论推广至 PCS-结构。
• 表征这些复形的上同调，特别是针对特殊辛联络的情形。
• 将凯勒结构与共形费多索夫结构的结果推广至更广泛的 PCS-结构类别。
• 提供一个概念性框架，通过局部接触化将特殊辛联络与齐性模型联系起来。

提出的方法

• 利用抛物接触化，将 PCS-结构实现为通过横截无穷小对称性从抛物接触结构商得的商空间。
• 应用来自抛物接触结构的 BGG 序列，在底流形上构造不变微分算子序列。
• 依赖 PCS-结构的典范联络，将几何结构与特殊辛联络联系起来。
• 利用 BGG 投影的长正合序列分析所诱导复形的上同调。
• 利用对称性生成元 X 在表示空间上的可对角化性，证明长正合序列中连接同态的消失。
• 应用已知的复射影空间上同调结果，计算特定情形下所下降复形的上同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过几何与表示论工具，系统地构造与 PCS-结构自然关联的微分复形？
• RQ2 通过抛物接触结构的 PCS-商诱导到流形上的微分算子复形的上同调行为如何？
• RQ3 在何种条件下，这些复形的上同调群会消失或退化为特定表示？
• RQ4 李代数中对称性生成元 X 的结构如何影响所诱导复形的上同调？
• RQ5 特殊辛联络在多大程度上作为无 torsion PCS-结构的典范联络出现，其与齐性模型几何的关系为何？

主要发现

• 对于复射影空间 CP^n（n ≥ 2），所下降的 BGG 复形的上同调在所有度数中仅在 0 和 2n+1 处非零。
• 在度数 0 和 2n+1 处，上同调同构于表示空间中对称性生成元 X 平凡作用的子空间。
• 当 X 在表示空间上的作用的核与像彼此横截时，BGG 投影的长正合序列可分解为短正合序列，从而推出连接同态的消失。
• 当底层面几何为凯勒或共形费多索夫时，与特殊辛联络相关的复形在所有奇数度数上的上同调均为平凡。
• 该构造为特殊辛联络的存在性提供了概念性解释，其源于与抛物接触化齐性模型的局部同构。
• 结果可推广至其他 PCS-结构，其中对称性生成元 X 在表示上半单作用，确保上同调结构由 X 的表示论性质所控制。