[论文解读] Parabolic equations with measurable coefficients in $L_p$-spaces with mixed norms

Doyoon Kim|ArXiv.org|May 25, 2007

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 7被引用 3

一句话总结

该论文在混合范数 Sobolev 空间 $L_{q,p}$ 中建立了二阶抛物方程的唯一可解性，其中系数 $a^{ij}$（除 $a^{11}$ 外）在时间与一个空间变量上可测，且在其余空间变量上具有消失的平均振荡（VMO），而 $a^{11}$ 在一个空间变量上可测，并在时间与其他空间变量上具有 VMO。关键结果是在这些最小正则性假设下，对解获得了先验 $W^{1,2}_{q,p}$-估计，从而通过嵌入定理实现改进的 Hölder 正则性。

ABSTRACT

The unique solvability of parabolic equations in Sobolev spaces with mixed norms is presented. The second order coefficients (except $a^{11}$) are assumed to be only measurable in time and one spatial variable, and VMO in the other spatial variables. The coefficient $a^{11}$ is measurable in one spatial variable and VMO in the other variables.

研究动机与目标

• 在混合范数 Sobolev 空间 $L_{q,p}$ 中建立非散度型抛物方程的唯一可解性。
• 将 $L_{q,p}$ 理论扩展至仅在时间与一个空间变量上可测、在其余变量上为 VMO 的系数的方程。
• 在系数的正则性假设最小化的前提下，提供 $W^{1,2}_{q,p}$-空间中的先验估计。
• 通过嵌入定理，在 $q$ 较大时实现解的正则性改进，包括 Hölder 连续性。

提出的方法

• 采用混合范数 $L_{q,p}$ 的 Sobolev 空间框架，其中 $q > p \geq 2$，以分析抛物方程。
• 施加混合正则性条件：系数 $a^{ij}$（当 $i\neq1$ 或 $j\neq1$ 时）在 $(t,x^1)$ 上可测，且在 $x'\in\mathbb{R}^{d-1}$ 上为 VMO，而 $a^{11}$ 在 $x^1$ 上可测，并在 $(t,x')$ 上为 VMO。
• 通过 Campanato 型估计与极大函数技术应用先验估计，以控制二阶导数的振荡。
• 将算子分解为 $L_0$ 与 $L_1$，以分离依赖于 $x^1$ 的部分，并应用先前工作（如 [9]）中的估计。
• 利用缩放论证与覆盖型估计，通过 $L_{q,p}$-范数控制 $u_{xx}$ 的 $L_{q,p}$-范数，其依据为 $L_0u$ 与 $u_{xx'}$ 的 $L_{q,p}$-范数。
• 采用自举论证：首先利用 VMO 与可测性假设估计 $u_{xx'}$，然后通过方程结构与第二次估计恢复 $u_{x^1x^1}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在系数仅在时间与一个空间变量上可测、在其余变量上为 VMO 的条件下，建立抛物方程的唯一可解性？
• RQ2 为确保在 $q > p \geq 2$ 时对系数 $a^{ij}$ 获得 $W^{1,2}_{q,p}$-估计，其系数所需的最小正则性是什么？
• RQ3 如何将混合范数 $L_{q,p}$-理论扩展至在所有空间变量上不连续且非一致 VMO 的系数的方程？
• RQ4 在弱系数假设下，$L_{q,p}$-框架能否用于推导解的改进正则性，如 Hölder 连续性？

主要发现

• 对于 $q > p \geq 2$ 且 $f \in L_{q,p}((0,T)\times\mathbb{R}^d)$，存在唯一的解 $u \in W^{1,2}_{q,p}((0,T)\times\mathbb{R}^d)$，满足 $u(T,x) = 0$。
• 系数 $a^{ij}$（除 $a^{11}$ 外）在 $(t,x^1)$ 上可测，并在 $x'\in\mathbb{R}^{d-1}$ 上为 VMO，而 $a^{11}$ 在 $x^1$ 上可测，并在 $(t,x')$ 上为 VMO。
• 对紧支集解，先验估计 $\|u_{xx}\|_{L_{q,p}} \leq N\|L_0u\|_{L_{q,p}}$ 成立，其中常数 $N$ 依赖于 $d$、$p$、$q$、$\delta$ 与 VMO 模 $\omega$。
• 该估计通过先用 Campanato 型估计控制 $\|u_{xx'}\|_{L_{q,p}}$，再通过方程结构与第二次估计恢复 $\|u_{x^1x^1}\|_{L_{q,p}}$ 获得。
• 估计中的常数 $N$ 依赖于 $\omega(R)$，通过选择较小的 $R$ 与较大的 $\kappa$，可使低阶项小于 $1/2$，从而得到闭估计。
• 该结果使得可应用嵌入定理，推导出解的 Hölder 连续性，如本文中 [3] 与引理 5.6 所示。