[论文解读] Parabolic equations with variably partially VMO coefficients

Hongjie Dong|ArXiv.org|Nov 25, 2008

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文在系数在某一空间方向可测且在其余变量与时间上具有消失振荡均值（VMO）的假设下，建立了所有 $ p \in (1,\infty) $ 的二阶非散度型抛物方程在 $ W^{1,2}_{p} $ 中的可解性，其中可测方向在每个柱体中可变。关键进展在于通过引入变量变换将方程转化为散度形式，从而摆脱了先前对 $ p > 2 $ 的限制，使能够应用关于部分 VMO 系数的散度型方程的最新结果。

ABSTRACT

We prove the $W^{1,2}_{p}$-solvability of second order parabolic equations in nondivergence form in the whole space for $p\in (1,\infty)$. The leading coefficients are assumed to be measurable in one spatial direction and have vanishing mean oscillation (VMO) in the orthogonal directions and the time variable in each small parabolic cylinder with the direction depending on the cylinder. This extends a recent result by Krylov [17] for elliptic equations and removes the restriction that $p>2$.

研究动机与目标

• 在部分 VMO 系数假设下，将非散度型抛物方程的 $ W^{1,2}_p $-可解性理论扩展至所有 $ p \in (1,\infty) $，包括 $ p \leq 2 $。
• 通过一种不同的分析方法，解决先前关于部分 VMO 系数方程结果中 $ p > 2 $ 的长期限制，该限制源于基于 $ L^2 $ 理论的精确函数估计的局限性。
• 将 Krylov 最近关于具有可变部分 VMO 系数椭圆方程的结果推广至抛物设置，包括混合范数 Sobolev 空间。
• 在相同系数假设下，建立混合范数空间 $ W^{1,2}_{q,p} $ 中的可解性，其中 $ q \geq p $。

提出的方法

• 引入变量变换，将仅依赖于一个空间变量的系数的非散度型抛物方程转化为散度型方程。
• 应用关于具有部分 VMO 系数的散度型抛物方程的最新结果，获得仅依赖于一个空间变量的系数的 $ W^{1,2}_p $-可解性。
• 利用逐点精确函数估计和广义 Fefferman-Stein 定理，控制小抛物柱体中二阶导数的振荡。
• 采用极大函数估计和 dyadic 分解技术，处理混合范数 $ L_{q,p} $-空间，特别是当 $ q \geq p $ 时，通过控制低阶项的极大函数来控制导数的 $ L^p $-范数。
• 构造一个单位分解并利用局部极大函数，通过系数的 VMO 条件，将 $ D^2u $ 和 $ u_t $ 的 $ L^p $-范数控制在 $ Pu $、$ Du $ 和 $ f $ 的范数范围内。

实验结果

研究问题

• RQ1 当主导系数在某一空间方向可测且在其余变量与时间上为 VMO 时，非散度型抛物方程的 $ W^{1,2}_p $-可解性是否可扩展至所有 $ p \in (1,\infty) $，且可测方向在每个抛物柱体中可变？
• RQ2 先前关于部分 VMO 系数方程结果中 $ p > 2 $ 的限制是否可通过另一种分析方法消除？
• RQ3 在相同系数假设下，可解性理论是否可扩展至混合范数 Sobolev 空间 $ W^{1,2}_{q,p} $，其中 $ q \geq p $？
• RQ4 通过变量变换将非散度型方程转化为散度型方程，是否能在部分 VMO 系数背景下实现 $ p < 2 $ 的 $ L^p $-估计？

主要发现

• 本文建立了在所有 $ p \in (1,\infty) $ 下，对于主导系数在某一空间变量上可测且在其余变量与时间上为 VMO 的非散度型抛物方程的 $ W^{1,2}_p $-可解性，其中可测方向在每个抛物柱体中可变。
• 通过在系数仅依赖于一个空间变量时进行变量变换将方程转化为散度形式，从而消除了对 $ p > 2 $ 的限制，使能够应用散度型方程的 $ L^p $-理论。
• 该结果将 Krylov 最近关于椭圆方程中具有可变部分 VMO 系数的工作推广至抛物设置，确认对所有 $ p \in (1,\infty) $ 均成立可解性。
• 本文证明了在相同系数假设下，$ W^{1,2}_{q,p} $-可解性对 $ q \geq p $ 成立，且估计式 $ \|u_t\|_{L_{q,p}} + \|D^2u\|_{L_{q,p}} \leq N\|Pu\|_{L_{q,p}} + N\|Du\|_{L_{q,p}} $ 对 $ 1 < p < q < \infty $ 成立，适用于足够小的 $ R $ 和足够大的 $ \kappa $。
• 证明依赖于精确函数估计和极大函数界，常数仅依赖于 $ d $、$ p $、$ q $ 和强椭圆常数 $ \delta $，最终估计通过选择足够大的 $ \kappa $ 以及足够小的 $ \gamma $、$ R $ 来吸收误差项。