[论文解读] Parabolic Harnack inequality of viscosity solutions on Riemannian manifolds

Soojung Kim, Ki-Ahm Lee|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文在截面曲率下有界的黎曼流形上，针对非负粘性解建立了非线性一致抛物方程在非散度形式下的抛物型哈纳克不等式。通过采用基于内在几何工具（如抛物型法映射和普奇极值算子）的克里洛夫-萨丰诺夫方法，作者在右端项满足曲率和可积性条件时证明了哈纳克不等式，将经典结果推广至流形上的粘性解框架。

ABSTRACT

We consider viscosity solutions to nonlinear uniformly parabolic equations in nondivergence form on a Riemannian manifold $M$, with the sectional curvature bounded from below by $-κ$ for $κ\geq 0$. In the elliptic case, Wang and Zhang \cite{WZ} recently extended the results of \cite{Ca} to nonlinear elliptic equations in nondivergence form on such $M$, where they obtained the Harnack inequality for classical solutions. We establish the Harnack inequality for nonnegative {\it viscosity solutions} to nonlinear uniformly {\it parabolic equations} in nondivergence form on $M$. The Harnack inequality of nonnegative viscosity solutions to the elliptic equations is also proved.

研究动机与目标

• 将克里洛夫-萨丰诺夫哈纳克不等式推广至截面曲率有界的黎曼流形上非线性一致抛物方程的粘性解。
• 在截面曲率有下界及源项可积性条件下，为非负粘性解建立哈纳克不等式。
• 将先前针对经典解的结果推广至具有曲率约束的流形上的粘性解框架。
• 通过使用抛物型法映射等内在几何构造，在黎曼流形上建立抛物型ABP-克里洛夫-Tso估计。
• 在类似几何与可积性假设下，证明抛物方程椭圆型对应情形的哈纳克不等式。

提出的方法

• 通过用平方距离函数替代仿射函数，将克里洛夫-萨丰诺夫方法适配至黎曼流形，以应对全局仿射结构的缺失。
• 基于 [AFS, Z] 的框架，在黎曼流形上定义粘性解，将粘性解理论推广至非欧几里得空间。
• 采用普奇的极值算子刻画一致椭圆性，替代迹算子，从而能够处理非线性项。
• 使用上确和下确卷积技术，将粘性解逼近为光滑函数，同时在极限下保持PDE不等式。
• 构造抛物型法映射 $\Phi(x,t) := \left(\exp_x(\nabla_x u), -\frac{1}{2}d^2(x,\exp_x(\nabla u)) - u(x,t)\right)$，并计算其雅可比行列式，以导出ABP型估计。
• 基于Bishop和Gromov的体积比较定理，应用覆盖论证以控制测度增长，进而推导出哈纳克不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 克里洛夫-萨丰诺夫哈纳克不等式能否被推广至截面曲率有界的黎曼流形上非线性一致抛物方程的粘性解？
• RQ2 在不依赖仿射函数的前提下，经典ABP估计及其抛物型类比能否在黎曼流形上被推广？
• RQ3 内在抛物型法映射在曲率流形上推导哈纳克型估计中扮演何种角色？
• RQ4 在何种源项 $f$ 和曲率条件下，粘性解的哈纳克不等式仍成立？
• RQ5 在相同几何与可积性假设下，粘性解的椭圆型哈纳克不等式能在多大程度上被建立？

主要发现

• 本文在截面曲率下有界于 $-\kappa$ 的黎曼流形上，为非散度形式的一致抛物方程的非负粘性解建立了抛物型哈纳克不等式。
• 一个关键结果是：若 $\left(\fint_{B_{2R}(x_0)} |R^2 f^+|^{n\theta}\right)^{1/(n\theta)} \leq \epsilon_0$，其中 $\theta = 1 + \log_2 \cosh(8\sqrt{\kappa}R_0)$，则哈纳克不等式成立，且具有正的密度下界 $\mu_0 > 0$。
• 哈纳克不等式通过使用内在抛物型法映射及其雅可比行列式的抛物型ABP-克里洛夫-Tso估计得以证明。
• 作者证明了粘性解类 $\overline{\mathcal{S}}_P(\lambda,\Lambda,f)$ 在所述曲率与可积性条件下满足哈纳克不等式。
• 在相同几何假设下，也通过类似基于体积比较与覆盖技术的论证，建立了粘性解的椭圆型哈纳克不等式。
• 证明依赖于通过下确卷积将粘性解逼近为光滑函数，并对逼近解应用统一的哈纳克估计，然后取极限。