[论文解读] Parabolic inductions for pro-$p$-Iwahori Hecke algebras

Noriyuki Abe|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2016

Advanced Algebra and Geometry被引用 4

一句话总结

该论文建立了特征为 $p$ 的域上 pro-$p$-Iwahori Hecke 代数的抛物诱导及其伴随函子的基础性质，证明了任意单模在左或右伴随函子下的像要么为零，要么为不可约模。论文给出了这些函子在广义 Steinberg 模和上等距模上的显式作用公式，从而可通过约化为广义 Steinberg 模的扩张群计算任意单模之间的扩张群。

ABSTRACT

We give some properties of parabolic inductions and their adjoint functors for pro-$p$-Iwahori Hecke algebras.

研究动机与目标

• 理解抛物诱导函子及其伴随函子在 pro-$p$-Iwahori Hecke 代数背景下的结构与行为。
• 分类单模（特别是上等距模、广义 Steinberg 模和抛物诱导模）在左、右伴随函子 $L_P$ 和 $R_P$ 下的像。
• 通过将问题约化为广义 Steinberg 模的扩张群，建立计算单模之间扩张群的框架。
• 阐明由正子代数和负子代数导出的四种不同诱导概念之间的关系，表明它们可约化为两个基本函子。

提出的方法

• 通过正负子代数 $\mathcal{H}_P^\pm$ 到全代数 $\mathcal{H}$ 的同态，利用 $j_P^{\pm*}$ 和 $j_P^\pm$ 定义四个诱导函子。
• 证明四个诱导中仅有两个——$I_P$ 和 $I_P'$——是独立的，其余可由这两个表示。
• 使用类似于群表示中 Bruhat 单元滤过结构的 $I_P(\sigma)$ 的滤过结构，分析其结构与行为。
• 对单模应用左、右伴随函子 $L_P$ 和 $R_P$，并利用已知分类：所有单 $\mathcal{H}$-模均可由上等距模的抛物诱导得到。
• 利用中心幂等元 $E_{o_-}(\lambda)$ 的结构及 $z_\mathcal{O}$ 在上等距模上的作用，证明对上等距模 $\pi$，有 $L_P(\pi)$ 和 $R_P(\pi)$ 为零。
• 推导出 $L_R(I(P,\sigma,Q))$ 和 $R_R(I(P,\sigma,Q))$ 的显式公式，其形式依赖于抛物子群之间的包含关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于正/负子代数及不同同态的四种不同抛物诱导概念之间有何关系？
• RQ2 单 $\mathcal{H}$-模在左、右伴随函子 $L_P$ 和 $R_P$ 下的像是什么？
• RQ3 在何种条件下，抛物诱导模在 $L_P$ 或 $R_P$ 下的像非零？
• RQ4 能否通过伴随函子和广义 Steinberg 模的已知结果来计算单 $\mathcal{H}$-模之间的扩张群？
• RQ5 伴随函子在广义 Steinberg 模和上等距模上的作用如何？

主要发现

• 任意单 $\mathcal{H}$-模在左或右伴随函子 $L_P$ 或 $R_P$ 下的像要么为零，要么为不可约模。
• 对由上等距 $\mathcal{H}_P$-模 $\sigma$ 诱导出的单模 $I(P,\sigma,Q)$，其在 $L_R$ 下的像非零当且仅当 $P \subset R$ 且 $\Delta(\sigma) \subset \Delta_Q \cup \Delta_R$，此时其等于 $I_R(P,\sigma,Q \cap R)$。
• 模 $I(P,\sigma,Q)$ 在 $R_R$ 下的像非零当且仅当 $Q \subset R$，此时其等于 $I_R(P,\sigma,Q)$。
• 左伴随函子 $L_P$ 在任意上等距 $\mathcal{H}$-模 $\pi$ 上为零，原因在于存在 $n$ 使得 $\pi(z_\mathcal{O}^n) = 0$，且 $E_{o_-}(\lambda)$ 的作用。
• 右伴随函子 $R_P$ 同样在任意上等距 $\mathcal{H}$-模 $\pi$ 上为零，通过类似论证，涉及 $j_{P'}^+$ 的作用及幂等元 $E_{o_-}(\lambda)$。
• 结果使得单 $\mathcal{H}$-模之间的扩张群计算可约化为广义 Steinberg 模之间的扩张群计算，借助伴随同构 $\operatorname{Ext}^i(\pi, I_P(\sigma)) \simeq \operatorname{Ext}^i(L_P(\pi), \sigma)$。