[论文解读] Parabolic-like maps

Luciana Luna Anna Lomonaco|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文引入抛物型类映射——一种与多项式类映射类似但具有抛物型外在类的全纯映射，其外在动力系统中包含一个抛物不动点。证明了一个平直化定理，表明每个二次抛物型类映射都与唯一一个属于族 $ P_A(z) = z + \frac{1}{z} + A $ 的成员是混合共轭的，当填充若尔当代数集连通时，唯一性成立，条件为 $ A^2 = (A')^2 $。

ABSTRACT

In this paper we introduce the notion of parabolic-like mapping, which is an object similar to a polynomial-like mapping, but with a parabolic external class, i.e. an external map with a parabolic fixed point. We prove a straightening theorem for parabolic-like maps, which states that any parabolic-like map of degree 2 is hybrid conjugate to a member of the family Per_1(1), and this member is unique (up to holomorphic conjugacy) if the filled Julia set of the parabolic-like map is connected.

研究动机与目标

• 将多项式类映射的理论推广至具有抛物型外在动力系统的映射。
• 定义并研究抛物型类映射作为全纯动力系统的一个新类别。
• 建立一个类似于多项式类映射的平直化定理，但适用于抛物型外在类。
• 刻画抛物型类映射的外在类，并将其与有理函数的模型族联系起来。
• 证明当填充若尔当代数集连通时，混合共轭性蕴含全纯共轭性。

提出的方法

• 将抛物型类映射定义为三元组 $ (f, U', U) $，其中 $ f: U' \to U $ 是一个度数为 $ d $ 的正规全纯映射，其外在映射在外部动力系统中具有一个抛物不动点。
• 将抛物型类映射的外在类构造为单位圆周上的一个度数为 $ d $ 的实解析、保向自覆盖映射，且具有一个抛物不动点。
• 利用可测黎曼映射定理和拟共形手术，构造抛物型类映射与模型映射之间的混合等价关系。
• 在外在单位圆周上应用强反射原理，以扩展拟共形映射，并证明在若尔当代数集上共轭映射的连续性。
• 利用 Rickmann 引理证明：若一个连续的、分段拟共形的映射在若尔当代数集上扩展了共轭关系，则该映射为拟共形，从而是全纯的。
• 证明：若族 $ P_A(z) = z + \frac{1}{z} + A $ 中的两个映射 $ P_A $ 与 $ P_{A'} $ 是混合共轭的，且填充若尔当代数集连通，则 $ A^2 = (A')^2 $，这意味着它们是全纯共轭的。

实验结果

研究问题

• RQ1 多项式类映射的概念能否推广至具有抛物型外在动力系统的系统？
• RQ2 抛物型类映射的外在类结构是什么？它与多项式类映射中双曲型外在类有何不同？
• RQ3 是否存在一个映射族，使得所有二次抛物型类映射均可通过混合共轭关系平直化至该族？
• RQ4 在何种条件下，两个抛物型类映射之间的混合共轭性蕴含全纯共轭性？
• RQ5 填充若尔当代数集的拓扑结构如何影响模型族中平直化的唯一性？

主要发现

• 抛物型类映射被定义为具有抛物型外在类的全纯映射，其将多项式类映射的理论推广至包含外在动力系统中抛物不动点的情形。
• 模型族 $ \{P_A(z) = z + \frac{1}{z} + A \mid A \in \mathbb{C}\} $ 的外在类由映射 $ h_2(z) = \frac{3z^2 + 1}{3 + z^2} $ 给出，该映射具有一个抛物不动点。
• 当填充若尔当代数集连通时，每个二次抛物型类映射都与族 $ \text{Per}_1(1) = \{[P_A] \mid P_A(z) = z + \frac{1}{z} + A\} $ 中的唯一一个成员是混合共轭的。
• 若族中的两个映射 $ P_A $ 与 $ P_{A'} $ 是混合共轭的，且填充若尔当代数集连通，则 $ A^2 = (A')^2 $，这意味着它们是全纯共轭的。
• 该证明依赖于通过反射和 Rickmann 引理将拟共形共轭关系外推至若尔当代数集，从而确保全局共轭映射的全纯性。
• 填充若尔当代数集 $ K_A $ 定义为 $ \widehat{\mathbb{C}} \setminus \Lambda $，其中 $ \Lambda $ 是 $ P_A $ 的无穷远点的抛物域，它是 $ P_A $ 的一个完全不变的 Fatou 域。