[论文解读] Parabolic nef currents on hyperkaehler manifolds

Misha Verbitsky|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文证明，在超凯勒流形上，抛物型拟正电流——即上顶次数为零的凯勒形式的极限——的Lelong集是共辛子簇。对于Picard秩为1的通用超凯勒流形，这意味着所有Lelong数为零，且若Pic(M)的生成元为抛物型，则此类流形必存在非平凡的共辛子簇。

ABSTRACT

Let M be a compact, holomorphically symplectic Kahler manifold, and $η$ a (1,1)-current which is nef (a limit of Kahler forms). Assume that the cohomology class of $η$ is parabolic, that is, its top power vanishes. We prove that all Lelong sets of $η$ are coisotropic. When M is generic, this is used to show that all Lelong numbers of $η$ vanish. We prove that any hyperkahler manifold with Pic(M) of rank 1 has non-trivial coisotropic subvarieties, if a generator of Pic(M) is parabolic.

研究动机与目标

• 研究超凯勒流形上抛物型拟正电流的代数几何性质。
• 利用共辛几何确定抛物型拟正电流Lelong集的结构。
• 建立Lelong数为零的条件，特别是在通用超凯勒流形中。
• 证明当Picard群为Z且第一陈类为抛物型时，非平凡共辛子簇的存在性。
• 将超凯勒SYZ猜想与Bogomolov-Beauville-Fujiki形式联系至拟正电流的几何性质。

提出的方法

• 利用Bogomolov-Beauville-Fujiki形式，通过二次型 $ q(\eta,\eta) $ 的消失来定义抛物类。
• 应用拟正电流的正则化技术，构造收敛于电流 $ \eta $ 的正闭形式序列。
• 利用Fujiki公式推导出当 $ q(\eta,\eta) = 0 $ 时有 $ \eta^{n+1} = 0 $，从而推出上顶次数为零。
• 将 $ \eta $-共辛子簇定义为被 $ \eta $ 支配的子簇，即存在 $ c > 0 $ 使得 $ \eta^p - c[Z] \geq 0 $。
• 利用 $ \Omega^{n-p+1} \wedge \overline{\Omega}^{n-p+1} $ 的弱正性和上同调消去性，证明 $ \eta^{n-p+1} \wedge [Z] = 0 $，从而推出共辛性。
• 利用在通用超凯勒流形上所有子簇均为全纯辛的性质，若不存在非平凡共辛子簇，则强制Lelong数为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 抛物型拟正电流在超凯勒流形上的Lelong集具有何种几何性质？
• RQ2 在何种条件下，抛物型拟正电流的Lelong数为零？
• RQ3 若超凯勒流形满足 $ \operatorname{Pic}(M) = \mathbb{Z} $ 且 $ \operatorname{Pic}(M) $ 的生成元为抛物型，是否必然存在非平凡共辛子簇？
• RQ4 超凯勒SYZ猜想如何与拟正电流的上同调和几何性质相关联？
• RQ5 能否通过上同调消去性与电流的正性来刻画共辛条件？

主要发现

• 在超凯勒流形上，抛物型拟正电流 $ \eta $ 的所有Lelong集关于全纯辛形式均为共辛子簇。
• 在通用超凯勒流形上，若 $ \eta $ 的上同调类为抛物型且拟正，则 $ \eta $ 的所有Lelong数均为零。
• 对于满足 $ \operatorname{Pic}(M) = \mathbb{Z} $ 的超凯勒流形，若 $ \operatorname{Pic}(M) $ 的生成元为抛物型，则 $ c_1(L) $ 要么可由有理除子表示，要么 $ M $ 包含非平凡共辛子簇。
• $ \eta $-共辛条件意味着子簇 $ Z $ 满足 $ [\eta]^{n-p+1}|_Z = 0 $，其中 $ p $ 为 $ Z $ 的复余维数。
• 共辛条件等价于在 $ Z $ 的光滑点上 $ \Omega^{n-p+1} $ 的消失，这在辛空间中是子空间可能达到的最小秩。
• 证明依赖于 $ \eta^{n+1} $ 的上同调消去性，以及 $ \eta^p \wedge \Omega^{n-p+1} \wedge \overline{\Omega}^{n-p+1} $ 的正性，这迫使电流在 $ Z $ 上消失。