[论文解读] Parabolic reductions of principal bundles

Yogish I. Holla|ArXiv.org|Apr 17, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用 12

一句话总结

该论文建立了在任意特征下，关于光滑射影曲线上的主G丛的抛物约化的稳定映射模空间和希尔伯特概形的维数界。通过估计这些空间的维数并推广Harder的方法，证明了在数值约束下，截面空间的不可约性与一般光滑性，并引入了广义稳定G丛的概念，证明其满足类似于向量丛Lange结果的广义下界度数。

ABSTRACT

In this paper we describe the structure of the space of parabolic reductions, and their compactifications, of principal $G$-bundles over a smooth projective curve over an algebraically closed field of arbitrary characteristic. We first prove estimates for the dimensions of moduli spaces of stable maps to the twisted flag varieties $E/P$ and Hilbert schemes of closed subschemes of $E/P$ with same Hilbert polynomials as that of a $P$-reductions of $E$. This generalizes the earlier results of Mihnea Popa and Mike Roth to connected reductive groups and the results of Y. I. Holla and M. S. Narasimhan to the case of non-minimal sections. We then prove irreducibility and generic smoothness of the space of reductions for large numerical constraints, using the above result and the methods of G. Harder. We also study these space in more detail for generically stable $G$-bundles. As a consequence we can generalize the lower bound results of H. Lange to $G$.

研究动机与目标

• 理解在任意特征下，光滑射影曲线上的主G丛的抛物约化及其紧化空间的结构。
• 将稳定映射模空间和扭曲旗簇E/P中子概形的希尔伯特概形的维数估计推广至非最小截面和任意半单群。
• 在数值约束下，建立E/P → C的截面空间的不可约性与一般光滑性，扩展GL_n和Borel子群的结果。
• 定义并研究广义稳定G丛，推广向量丛中稳定丛的概念，并证明在亏格≥2的曲线上其存在性。
• 将Lange对约化度数的下界结果推广至任意半单群G。

提出的方法

• 使用数值类型[σ] ∈ X_*(P)估计希尔伯特概形Hilb^{[σ]}_{E/P}和稳定映射模空间Mbar_g(E/P, β_{[σ]})的不可约分支的维数。
• 通过G的特征上支配关系与消失性定义数值类型的偏序，识别出数值最小类型γ_i。
• 证明对于Hilb^{[σ]}_{E/P}或Mbar_g(E/P, β_{[σ]})的任意分支X，存在最小类型γ_i，使得dim(X) ≤ dim(G/P) + d([σ]) - d(γ_i)。
• 应用G. Harder的方法，当数值类型满足性质(*)且N充分大时，证明Sec^{[σ]}_{E/P}的不可约性与一般光滑性。
• 将广义稳定G丛定义为：当其约化至抛物子群时，对应的L虽群为广义稳定。
• 利用李代数理论与C × S上P-丛的普遍族，证明映射模空间中的一般元素对应于具有广义稳定L虽群的约化。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有固定希尔伯特多项式的E/P子概形的希尔伯特概形的不可约分支，其维数界是什么？
• RQ2 在何种数值条件下，截面空间Sec^{[σ]}_{E/P}是不可约且一般光滑的？
• RQ3 如何将GL_n丛的稳定丛概念推广至亏格≥2的曲线上的主G丛？
• RQ4 广义稳定G丛的存在性与稳定映射到E/P的模空间结构之间有何关系？
• RQ5 此前仅对向量丛已知的约化度数下界，能否推广至任意半单群？

主要发现

• 对于任意包含P-约化σ的Hilb^{[σ]}_{E/P}的不可约分支X，存在最小数值类型γ_i，使得dim(X) ≤ dim(G/P) + d([σ]) - d(γ_i)。
• 该维数界同样适用于稳定映射模空间Mbar_g(E/P, β_{[σ]})的不可约分支。
• 若G-丛E存在满足性质(*)的数值类型[σ]的P-约化（当N充分大时），则Sec^{[σ]}_{E/P}是不可约且一般光滑的，且其维数为预期值d([σ]) + (1−g)dim(G/P)。
• 对于亏格≥2的曲线，存在广义稳定G-丛，且对任意P-约化σ，均有d([σ]) ≥ (g−1)dim(G/P)。
• 当E为广义稳定时，Mbar_g(E/P, β_{[σ]})不包含病态分支，且一般元素对应于具有广义稳定L虽群的约化。
• 对于任意满足[τ] ≤ [σ]的数值类型[τ]，若E存在类型为[σ]的P-约化，则当E为广义稳定时，E也存在类型为[τ]的P-约化。