[论文解读] Parabolic Set Simulation for Reachability Analysis of Linear Time Invariant Systems with Integral Quadratic Constraint

Paul Rousse, Pierre-Loïc Garoche+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2019

Fault Detection and Control Systems参考文献 30被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种抛物面集模拟方法，用于线性时不变（LTI）系统在积分二次约束（IQC）下的可达性分析，采用随时间变化的抛物面超逼近，通过求解涉及微分Riccati方程（DRE）的初值问题，使这些抛物面与可达集边界相切。该方法能够实现稳定、可扩展且有界的可达集超逼近，适用于稳定与不稳定系统，相较于传统椭球方法在处理复杂约束时表现更优。

ABSTRACT

This work extends reachability analyses based on ellipsoidal techniques to Linear Time Invariant (LTI) systems subject to an integral quadratic constraint (IQC) between the past state and disturbance signals , interpreted as an input-output energetic constraint. To compute the reachable set, the LTI system is augmented with a state corresponding to the amount of energy still available before the constraint is violated. For a given parabolic set of initial states, the reachable set of the augmented system is overapproximated with a time-varying parabolic set. Parameters of this paraboloid are expressed as the solution of an Initial Value Problem (IVP) and the overapproximation relationship with the reachable set is proved. This paraboloid is actually supported by the reachable set on so-called touching trajectories. Finally , we describe a method to generate all the supporting paraboloids and prove that their intersection is an exact characterization of the reachable set. This work provides new practical means to compute overapproximation of reachable sets for a wide variety of systems such as delayed systems, rate limiters or energy-bounded linear systems.

研究动机与目标

• 为解决LTI系统在积分二次约束（IQC）下缺乏有效的可达集表征问题，IQC可建模时延、速率限制器和能量边界。
• 将基于集合的模拟技术从椭球方法扩展至处理具有IQC的非凸与不稳定系统。
• 开发一种可扩展且数值稳定的算法，通过抛物面包络实现可达集的有界超逼近。
• 实现大规模系统中实际的可达性分析，其中HJB方法与基于矩的方法因可扩展性问题而失效。

提出的方法

• 该方法通过引入一个表示IQC中积分项的状态，将系统扩展为状态空间形式。
• 构建随时间变化的抛物面超逼近，使其沿满足IQC的“接触轨迹”与可达集边界相切。
• 每个抛物面的参数由涉及微分Riccati方程（DRE）的初值问题（IVP）的解导出，确保紧密性与与可达集的接触。
• 可达集被表示为不可数个此类支撑抛物面的交集，实际中使用有限子集进行超逼近。
• 采用基于Chandrasekhar方法的数值积分方案求解DRE，即使解非定号也能适用。
• 设计一种算法，计算包围已计算抛物面交集的最小体积抛物面，提升计算效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 抛物面超逼近能否为IQC约束下的可达性分析提供比椭球方法更紧密且更具可扩展性的替代方案？
• RQ2 如何对时变抛物面进行参数化，以确保其在满足积分二次约束的前提下与可达集边界的接触？
• RQ3 在IQC约束下，不稳定LTI系统的超逼近有界性与存在性需满足何种条件？
• RQ4 该方法如何适应大规模系统，其中传统HJB或基于矩的方法因计算不可行而失效？
• RQ5 该方法能否扩展至具有多个IQC或混合2-范数与∞-范数约束的系统？

主要发现

• 该方法成功使用时变抛物面超逼近LTI系统在IQC约束下的可达集，即使在不稳定系统中亦成立。
• 可达集被精确表示为不可数个支撑抛物面的交集，每个抛物面对应一条接触轨迹。
• 通过精心选择缩放函数与初始参数，该方法保证了超逼近的有界性。
• 数值结果表明，该方法在状态数少于百个的系统中表现出良好的可扩展性，计算效率优于HJB与基于矩的方法。
• 实现为开源代码，采用改进的Chandrasekhar方法求解DRE，即使解非定号也能适用。
• 该方法可计算最小体积包围抛物面，降低计算成本，同时保持逼近的紧密性。