[论文解读] Parabolic subgroups acting on the additional length graph

Yago Antolín, María Cumplido|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用 2

一句话总结

该论文证明了在不可约的球面型Artin-Tits群（排除A1, A2, I2m）的附加长度图（CAL(A)）上，周期性元素和保持抛物子群的元素作用为椭圆。利用此结果，作者构造了一个具有统一有界Garside长度的元素g*，使得任意真标准抛物子群P都可通过自由积⟨P, g*⟩ ≅ P ∗ ⟨g*⟩得到补全，从而证明了在Garside生成元下，辫群的指数增长速率发散至无穷——与Artin生成元下的行为形成鲜明对比。

ABSTRACT

Let A ≠ A1;A2;I2m be an irreducible Artin–Tits group of spherical type. We show that the periodic elements of A and the elements preserving some parabolic subgroup of A act elliptically on the additional length graph CAL(A), a hyperbolic, infinite diameter graph associated to A constructed by Calvez and Wiest to show that A/Z(A) is acylindrically hyperbolic. We use these results to find an element g ∈ A such that <P,g> ≅ P * <g> for every proper standard parabolic subgroup P of A. The length of g is uniformly bounded with respect to the Garside generators, independently of A. This allows us to show that, in contrast with the Artin generators case, the sequence ω(An,S)(with n ∈ N) of exponential growth rates of braid groups, with respect to the Garside generating set, goes to infinity.

研究动机与目标

• 将Calvez和Wiest关于辫群的结果推广至不可约的球面型Artin-Tits群。
• 证明周期性元素和保持抛物子群的元素在附加长度图CAL(A)上作用为椭圆。
• 构造一个具有统一有界Garside长度的单一元素g*，使得对任意真标准抛物子群P，都有⟨P, g*⟩ ≅ P ∗ ⟨g*⟩。
• 证明Artin-Tits群在Garside生成元下的指数增长速率发散至无穷，与Artin生成元下的有限增长形成对比。

提出的方法

• 利用双曲性与轨道直径界，证明周期性元素和保持抛物子群的元素在CAL(A)上作用为椭圆。
• 利用CAL(A)的统一双曲常数与轨道直径界，在所有真抛物子群上构造一个共同的自由积补元g*。
• 利用抛物子群在A关于Garside生成元的Cayley图中的等距嵌入。
• 应用生成函数与Fekete引理，比较子群与全群的相对增长速率。
• 利用同构⟨AX, g*⟩ ≅ AX ∗ ⟨g*⟩推导全群增长速率的下界。
• 应用方程1 − αx − x^K的根，从下方有界指数增长速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于不可约的球面型Artin-Tits群（排除A1, A2, I2m），周期性元素和保持复形中单形的元素是否在附加长度图CAL(A)上作用为椭圆？
• RQ2 能否找到一个具有统一有界Garside长度的单一元素g*，使得对每个真标准抛物子群P，都有⟨P, g*⟩ ≅ P ∗ ⟨g*⟩？
• RQ3 随着n增大，辫群An在Garside生成集下的指数增长速率是否发散至无穷？
• RQ4 在使用Garside生成元时，真抛物子群的相对增长速率与全Artin-Tits群相比如何？
• RQ5 在Garside生成集中，全群与抛物子群的增长速率之间存在何种关系？

主要发现

• 在不可约的球面型Artin-Tits群（排除A1, A2, I2m）中，周期性元素以及保持不可约抛物子群复形中单形的元素在CAL(A)上作用为椭圆。
• 存在常数K，使得对每个此类Artin-Tits群A，存在一个Garside长度不超过K的元素g* ∈ A+，满足对每个真标准抛物子群AX，都有⟨g*, AX⟩ ≅ ⟨g*⟩ ∗ AX。
• 任意真抛物子群AX在Garside生成集下的相对指数增长速率严格小于全群A：ω(AX, S±1A) < ω(A, S±1A)。
• 辫群在Garside生成集下的指数增长速率序列{ω(An, S±1An)}n∈N严格递增且无界，发散至无穷。
• 对于正元素半群同样成立：{ω(A+n, SAn)}n∈N严格递增且无界。
• 自由积⟨AX, g*⟩的增长速率严格大于AX本身，且该下界随全群规模增大而增加，导致整体增长速率发散。