[论文解读] Paradoxes of differential nonlocal cantilever beams: Reasons and a novel solution

Mohamed Shaat, S. Faroughi+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2017

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 42被引用 4

一句话总结

该论文通过引入迭代非局部残差法，解决了微分非局部悬臂梁模型中的悖论问题，该方法通过迭代生成的非局部残差施加局部边界条件。该方法产生的结果与积分非局部模型完全一致，有效消除了在静力弯曲和自由振动分析中非局部边界条件公式化带来的不一致性。

ABSTRACT

The paradoxes of differential nonlocal models have been attributed to the inconsistency in forming the nonlocal boundary conditions. To overcome these paradoxes, nonlocal boundary conditions should be correctly formed. However, still forming these boundary conditions for differential nonlocal models is a challenging task. To resolve the trouble, in this study, the iterative nonlocal residual approach is employed. In the context of this approach, the field equation is solved in the local field with an imposed nonlocal residuals. This nonlocal residual is iteratively formed (not determined) depending on a pre-determined local field. The iterative nonlocal residual approach permits applying the local boundary conditions. Thus, the paradoxes of differential nonlocal models due to the nonlocal boundary conditions are effectively solved. The paradoxes of differential nonlocal models and reasons behind them are discussed. Moreover, a nonlocal beam model based on the iterative nonlocal residual approach is proposed. This nonlocal beam model is employed to investigate the static bending and free vibration of differential nonlocal cantilever beams. Comparisons between the results of the iterative nonlocal residual approach and results of integral nonlocal beam models are carried out. It is demonstrated that the iterative nonlocal residual approach gives the same results as integral nonlocal models.

研究动机与目标

• 识别并解决微分非局部梁模型中因非局部边界条件不一致而产生的悖论。
• 开发一种稳健的非局部边界条件公式化方法，避免现有微分非局部公式化中普遍存在的不一致性。
• 提出一种基于迭代非局部残差法的非局部梁模型，确保与局部边界条件的兼容性。
• 通过与成熟的积分非局部梁模型对比，验证所提方法的有效性。
• 展示该方法在悬臂梁静力弯曲和自由振动问题中的有效性。

提出的方法

• 迭代非局部残差法在局部域内求解场方程，同时通过预先确定的局部场响应迭代生成的非局部残差施加非局部效应。
• 非局部残差并非直接指定，而是基于局部场响应通过连续迭代形成。
• 直接应用局部边界条件，避免了对非局部边界条件进行人为设定的需要。
• 通过迭代优化残差项，确保非局部效应的一致性，直至收敛。
• 该方法被应用于悬臂梁的静力弯曲与自由振动分析，构建非局部梁模型。
• 通过与积分非局部梁模型的结果对比，验证其精度与一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何微分非局部模型在悬臂梁问题中会产生悖论性结果？
• RQ2 微分非局部模型中非局部边界条件公式化不一致的根本原因是什么？
• RQ3 能否开发一种非局部梁模型，避免悖论的同时保持微分公式的简洁性？
• RQ4 迭代非局部残差法是否能获得与积分非局部模型等效的结果？
• RQ5 所提方法在非局部悬臂梁的静力弯曲与自由振动分析中表现如何？

主要发现

• 迭代非局部残差法通过迭代残差正确表述非局部效应，成功消除了微分非局部悬臂梁中的悖论。
• 该方法允许直接应用局部边界条件，解决了长期存在的非局部边界条件不一致问题。
• 迭代非局部残差法的结果在数值上与积分非局部梁模型完全一致。
• 所提出的非局部梁模型能准确预测各种载荷与边界条件下悬臂梁的静力挠度与固有频率。
• 该方法在静力弯曲与自由振动分析中均表现出鲁棒性与一致性，验证了其可靠性。
• 研究证实，悖论的根本原因在于非局部边界条件的错误公式化，而非非局部积分算子本身。