[论文解读] Parahoric bundles on a compact Riemann surface

V. Balaji, C. S. Seshadri|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用 2

一句话总结

本文在亏格 $g \geq 2$ 的紧黎曼曲面 $X$ 上，针对 Bruhat-Tits 群概形 $\sigma$ 引入了半稳定与稳定的旁正规扭子（parahoric torsors），构建了半稳定旁正规 $\mathcal{G}$-扭子的模空间，并将其底层拓扑空间与从 Fuchsian 群到 $G$ 的极大紧致子群的同态空间相联系。该工作将 Mehta 和 Seshadri 的抛物向量丛理论推广至约化群概形与旁正规结构的设定。

ABSTRACT

Let $X$ be an irreducible smooth projective algebraic curve of genus $g \geq 2$ over the ground field $\bc$ and let $G$ be a semisimple simply connected algebraic group. The aim of this paper is to introduce the notion of semistable and stable parahoric torsors under a certain Bruhat-Tits group scheme $\mathcal G$ and construct the moduli space of semistable parahoric $\mathcal G$--torsors; we also identify the underlying topological space of this moduli space with certain spaces of homomorphisms of Fuchsian groups into a maximal compact subgroup of $G$. The results give a generalization of the earlier results of Mehta and Seshadri on parabolic vector bundles. This is the final version of the accepted paper.

研究动机与目标

• 将抛物向量丛理论推广至紧黎曼曲面上半单单连通代数群的设定。
• 为亏格 $g \geq 2$ 的曲线 $X$ 上的 Bruhat-Tits 群概形 $\mathcal{G}$ 定义半稳定与稳定的旁正规 $\mathcal{G}$-扭子。
• 构建一个参数化半稳定旁正规 $\mathcal{G}$-扭子的模空间。
• 将该模空间的底层拓扑空间与从 Fuchsian 群到 $G$ 的极大紧致子群的同态空间相联系。

提出的方法

• 利用 Bruhat-Tits 群概形理论，在曲线 $X$ 上的代数群上定义旁正规结构。
• 应用几何不变量理论技术，构建半稳定旁正规 $\mathcal{G}$-扭子的模空间。
• 依赖于旁正规扭子与 $X$ 去掉标记点后基本群表示之间的等价关系。
• 建立模空间的底层拓扑空间与从 Fuchsian 群到 $G$ 的极大紧致子群的同态空间之间的同胚。
• 将抛物丛中的稳定性与半稳定性概念适配至旁正规扭子的语境。
• 运用约化群概形及其旁正规水平结构的理论，推广 Mehta-Seshadri 的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将抛物向量丛的稳定性概念推广至 Bruhat-Tits 群概形下的旁正规扭子设定？
• RQ2 在亏格 $g \geq 2$ 的紧黎曼曲面上，半稳定旁正规 $\mathcal{G}$-扭子的模空间结构如何？
• RQ3 该模空间的底层拓扑空间与 Fuchsian 群表示空间之间有何关系？
• RQ4 该构造在何种意义上推广了经典的 Mehta-Seshadri 抛物丛理论？
• RQ5 $G$ 的极大紧致子群在旁正规扭子的拓扑分类中起何种作用？

主要发现

• 本文构建了一个参数化亏格 $g \geq 2$ 的紧黎曼曲面上半稳定旁正规 $\mathcal{G}$-扭子的模空间。
• 该模空间的底层拓扑空间被自然地识别为从 Fuchsian 群到 $G$ 的极大紧致子群的同态空间。
• 该构造将 Mehta-Seshadri 的抛物向量丛理论推广至约化群概形与旁正规结构的设定。
• 利用 Bruhat-Tits 群概形理论框架，严谨地定义了旁正规扭子的半稳定与稳定性条件。
• 证明了该模空间是一个射影概形，扩展了向量丛模空间的经典紧化。
• 将拓扑空间与表示空间的识别，为模空间提供了基于 Fuchsian 群表示的几何实现。