[论文解读] Parahoric induction and chamber homology for SL2

Tyrone Crisp|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2013

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文建立了一个交换图，将 $\mathrm{SL}_2$ 在 $p$-进域上的墙同调中的帕拉霍里诱导与表示理论中的抛物诱导联系起来。它表明，由帕拉霍里诱导在墙同调复形上诱导的映射与抛物诱导可交换，将 Dat 的结果推广到更高同调度，并在此设定下实现了雅克布限制函子。

ABSTRACT

We consider the special linear group G=SL2 over a p-adic field, and its diagonal subgroup M=GL1. Parabolic induction of representations from M to G induces a map in equivariant homology, from the Bruhat-Tits building of M to that of G. We compute this map at the level of chain complexes, and show that it is given by parahoric induction (as defined by J.-F. Dat).

研究动机与目标

• 将 Dat 的帕拉霍里诱导构造从零度推广到 $\mathrm{SL}_2$ 背景下的更高同调度。
• 在 $G = \mathrm{SL}_2(F)$ 与 $M \cong \mathrm{GL}_1(F)$ 的墙同调复形之间建立一个交换图，将帕拉霍里诱导与抛物诱导联系起来。
• 以墙同调映射的形式实现雅克布限制函子 $\mathrm{r}^G_M$。
• 为紧凑诱导与帕拉霍里诱导之间的相容性提供同调解释，适用于 $\mathrm{SL}_2$ 情形。
• 通过分析墙同调与诱导映射的结构，为 $\mathrm{SL}_n$ 的推广奠定基础。

提出的方法

• 使用在 Bruhat-Tits 建筑 $X_G$ 上的单形链，结合表示环中的稳定子群系数，构造 $G = \mathrm{SL}_2(F)$ 的墙同调复形 $C_*^G(X_G)$。
• 为李群子群 $M \cong \mathrm{GL}_1(F)$ 构造类似的复形 $C_*^M(X_M)$，其稳定子群同构于 $L = \mathrm{GL}_1(\mathcal{O})$。
• 引入一个映射 $C_*^M(X_M) \to C_*^G(X_G)$，结合包含映射 $X_M \hookrightarrow X_G$ 与从 $L$ 到 $G$ 稳定子群的帕拉霍里诱导。
• 使用 Hochschild 复形 $C_*(\mathrm{Mod}_f(G))$ 与 $C_*(\mathrm{Mod}_f(M))$ 来建模有限生成光滑表示的同调。
• 通过证明在零度与一度上同调上诱导映射与抛物诱导相容，证明图 ($\ast$) 的交换性。
• 利用在一度上限制映射 $\mathrm{r}_c$ 的单射性，识别出 $\mathrm{I} = \mathrm{i}_c$ 在 $\mathrm{H}_1^G(X)$ 上的成立，将 Dat 的结果推广到更高同调度。

实验结果

研究问题

• RQ1 帕拉霍里诱导是否能扩展为墙同调复形之间的相容映射，超越零度？
• RQ2 雅克布限制函子能否以墙同调复形之间的映射形式实现？
• RQ3 在 $\mathrm{SL}_2$ 中，帕拉霍里诱导与抛物诱导之间的相容性在更高同调度下如何体现？
• RQ4 在诱导表示与 Weyl 群作用下，$\mathrm{H}_1^G(X)$ 的结构是怎样的？
• RQ5 $\mathrm{SL}_2$ 的结果在多大程度上可推广到 $\mathrm{SL}_n$？

主要发现

• 由帕拉霍里诱导诱导的映射 $C_*^M(X_M) \to C_*^G(X_G)$ 在同调上与抛物诱导可交换，将 Dat 的零度结果推广到更高度。
• 雅克布限制函子 $\mathrm{r}^G_M$ 作为同调上的映射 $\mathrm{R} = \mathrm{r}_c$ 实现，且 $\mathrm{r}_c$ 在一度上是单射的。
• 第一同调群 $\mathrm{H}_1^G(X)$ 允许一个由形如 $\mathrm{i}_{U,\overline{U}}(\rho) - \mathrm{i}_{U,\overline{U}}(\rho^w)$ 的循环组成的基，其指标为 $W$-轨道下的不可约 $L$-表示。
• 诱导映射 $\mathrm{I}: \mathrm{H}_0^M(Y) \to \mathrm{H}_0^G(X)$ 在零度上与抛物诱导 $\mathrm{i}_c$ 一致，且 $\mathrm{I}: \mathrm{H}_{n-1}^M(Y) \to \mathrm{H}_{n-1}^G(X)$ 在 $\mathrm{SL}_n$ 的 $n-1$ 度上也一致。
• 对于 $\mathrm{SL}_n$，通过帕拉霍里诱导定义的映射 $\mathrm{R}$ 与 $\mathrm{I}$ 分别在零度与 $n-1$ 度上满足 $\mathrm{R} = \mathrm{r}_c$ 与 $\mathrm{I} = \mathrm{i}_c$。
• 该构造表明，对于更大的李群子群，需要新的工具，因为一般情况下其与边界映射的相容性不成立。