[论文解读] Parallel Approximate Undirected Shortest Paths Via Low Hop Emulators

Alexandr Andoni, Clifford Stein+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 55被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对无向图的并行 $(1+\epsilon)$-近似最短路径算法，其深度为 $\operatorname{poly}(\log n)$，工作量为 $m\operatorname{poly}(\log n)$，解决了长达25年的开放问题。该工作引入了低跳数模拟图——一种具有 $O(\log\log n)$ 跳数上界的图，可保持 $\operatorname{poly}(\log n)$-近似距离——并结合可压缩预条件器在Sherman框架内实现接近最优的工作量与深度。

ABSTRACT

We present a $(1+\varepsilon)$-approximate parallel algorithm for computing shortest paths in undirected graphs, achieving $\mathrm{poly}(\log n)$ depth and $m\mathrm{poly}(\log n)$ work for $n$-nodes $m$-edges graphs. Although sequential algorithms with (nearly) optimal running time have been known for several decades, near-optimal parallel algorithms have turned out to be a much tougher challenge. For $(1+\varepsilon)$-approximation, all prior algorithms with $\mathrm{poly}(\log n)$ depth perform at least $Ω(mn^{c})$ work for some constant $c>0$. Improving this long-standing upper bound obtained by Cohen (STOC'94) has been open for $25$ years. We develop several new tools of independent interest. One of them is a new notion beyond hopsets --- low hop emulator --- a $\mathrm{poly}(\log n)$-approximate emulator graph in which every shortest path has at most $O(\log\log n)$ hops (edges). Direct applications of the low hop emulators are parallel algorithms for $\mathrm{poly}(\log n)$-approximate single source shortest path (SSSP), Bourgain's embedding, metric tree embedding, and low diameter decomposition, all with $\mathrm{poly}(\log n)$ depth and $m\mathrm{poly}(\log n)$ work. To boost the approximation ratio to $(1+\varepsilon)$, we introduce compressible preconditioners and apply it inside Sherman's framework (SODA'17) to solve the more general problem of uncapacitated minimum cost flow (a.k.a., transshipment problem). Our algorithm computes a $(1+\varepsilon)$-approximate uncapacitated minimum cost flow in $\mathrm{poly}(\log n)$ depth using $m\mathrm{poly}(\log n)$ work. As a consequence, it also improves the state-of-the-art sequential running time from $m\cdot 2^{O(\sqrt{\log n})}$ to $m\mathrm{poly}(\log n)$.

研究动机与目标

• 解决无向图中并行近似最短路径计算的长期开放问题，即实现 $\operatorname{poly}(\log n)$ 深度与 $m\operatorname{poly}(\log n)$ 工作量。
• 突破先前 $\operatorname{poly}(\log n)$-深度算法在 $(1+\epsilon)$-近似下 $\Omega(mn^c)$ 工作量的瓶颈。
• 开发新型算法工具——特别是低跳数模拟图与可压缩预条件器——以实现高效的并行计算。
• 将无容量限制最小费用循环问题的序列运行时间从 $m \cdot 2^{O(\sqrt{\log n})}$ 提升至 $m\operatorname{poly}(\log n)$。

提出的方法

• 引入低跳数模拟图的概念：一种 $\operatorname{poly}(\log n)$-近似模拟图，其中每条最短路径的跳数不超过 $O(\log\log n)$。
• 利用低跳数模拟图设计并行算法，实现 $\operatorname{poly}(\log n)$-近似单源最短路径、Bourgain嵌入、度量树嵌入以及低直径分解，实现 $\operatorname{poly}(\log n)$ 深度与 $m\operatorname{poly}(\log n)$ 工作量。
• 通过引入可压缩预条件器，在Sherman的无容量限制最小费用循环（transshipment）框架中应用，以减少近似误差并实现高效并行化。
• 结合随机路径采样与迭代流计算，并通过 $\Theta(\epsilon^{-1}\log n)$ 次重复实现成功概率放大，以确保高概率正确性。
• 利用归纳法与期望分析，界定所计算路径的期望权重，证明其在 $(1+\epsilon)$ 内接近真实最短路径距离。
• 在图上采用递归收缩策略，每轮迭代至少将顶点数减半，以维持低深度与工作量界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种并行算法，在 $\operatorname{poly}(\log n)$ 深度与 $m\operatorname{poly}(\log n)$ 工作量下计算出 $(1+\epsilon)$-近似最短路径？
• RQ2 图的何种结构特性可使并行近似最短路径计算超越传统跳集（hopsets）的限制？
• RQ3 可压缩预条件器是否可用于弥合并行模型中近似流计算与最短路径近似之间的差距？
• RQ4 能否在 $\operatorname{poly}(\log n)$ 工作量与深度下构造出保持 $\operatorname{poly}(\log n)$-近似距离的低跳数模拟图？
• RQ5 使用新框架求解无容量限制最小费用循环问题的序列时间复杂度是多少？

主要发现

• 本文通过提出首个具有 $\operatorname{poly}(\log n)$ 深度与 $m\operatorname{poly}(\log n)$ 工作量的并行 $(1+\epsilon)$-近似最短路径算法，解决了25年前的开放问题。
• 低跳数模拟图使得 $\operatorname{poly}(\log n)$-近似单源最短路径、Bourgain嵌入、度量树嵌入与低直径分解的并行计算成为可能，实现 $\operatorname{poly}(\log n)$ 深度与 $m\operatorname{poly}(\log n)$ 工作量。
• 该算法在 $\epsilon^{-2}\operatorname{poly}(\log(n\Lambda))$ 并行时间内计算出 $(1+\epsilon)$-近似无容量限制最小费用循环，以至少 0.99 的概率完成，预期工作量为 $\epsilon^{-3}m\operatorname{poly}(\log(n\Lambda))$。
• 利用新框架，无容量限制最小费用循环问题的序列运行时间从 $m \cdot 2^{O(\sqrt{\log n})}$ 提升至 $m\operatorname{poly}(\log n)$。
• 所计算路径的期望权重满足 $\mathbb{E}[w(p)] \leq (1+\epsilon) \cdot \operatorname{dist}_G(s,t)$，通过 $\Theta(\epsilon^{-1}\log n)$ 次重复基础路径查找子程序实现。
• 分析表明，期望路径权重被界定为 $(1+2\epsilon)^{\lceil \log n \rceil} \cdot \operatorname{dist}_G(s,t)$，当 $\epsilon$ 足够小时，该值至多为 $(1+\epsilon) \cdot \operatorname{dist}_G(s,t)$。