[论文解读] Parallel Graph Decompositions Using Random Shifts

Gary L. Miller, Richard Peng+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2013

Graph Theory and Algorithms参考文献 16被引用 15

一句话总结

该论文提出了一种简化且高效的并行算法，用于将无向无权图分解为低直径子图，且子图间边数极少。通过使用随机偏移来引导基于偏移最短路径的并行球形扩展过程，该算法在 O(log²n / β) 深度和 O(m) 工作量下实现了 (β, O(log n / β)) 分解，其理论保证与最优串行算法相当，同时显著提升了简洁性。

ABSTRACT

We show an improved parallel algorithm for decomposing an undirected unweighted graph into small diameter pieces with a small fraction of the edges in between. These decompositions form critical subroutines in a number of graph algorithms. Our algorithm builds upon the shifted shortest path approach introduced in [Blelloch, Gupta, Koutis, Miller, Peng, Tangwongsan, SPAA 2011]. By combining various stages of the previous algorithm, we obtain a significantly simpler algorithm with the same asymptotic guarantees as the best sequential algorithm.

研究动机与目标

• 设计一种更简单、工作高效的并行算法，用于无向无权图的低直径图分解。
• 通过使用随机偏移实现并行块构建，克服传统球形扩展方法中的串行瓶颈。
• 在保持亚线性深度和近乎线性工作量的前提下，实现与最优串行算法相当的渐近性能。
• 通过改进底层分解子程序，支持更快的对称对角占优（SDD）线性系统并行求解器。

提出的方法

• 为每个顶点 u 独立分配随机偏移 δu，用于定义偏移距离 dist−δ(u,v) = dist(u,v) − δv。
• 基于到任一中心的最小偏移距离将顶点分配至簇，通过并行最短路径计算形成划分。
• 通过 PRAM 模型实现的并行 BFS，以 O(log²n / β) 深度和 O(m) 工作量完成偏移最短路径计算。
• 随机偏移确保每个簇的强直径以高概率被限制在 O(log n / β) 以内。
• 通过 δu 的小数部分处理冲突，可借助随机排列模拟，避免浮点数运算。
• 重复执行直至获得有效的 (β, O(log n / β)) 分解，由于每次迭代的成功概率为常数，因此期望迭代次数为 O(1)。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种更简单的并行图分解算法，使其理论保证与最优串行方法相当？
• RQ2 如何消除球形扩展中的串行依赖，以实现高效的并行化？
• RQ3 随机偏移在确保低强直径和有界簇间边数方面发挥何种作用？
• RQ4 通过用该新方法替换 SDD 线性系统求解器的分解子程序，能否提升其性能？
• RQ5 在不降低理论保证的前提下，随机偏移在多大程度上可被随机排列替代？

主要发现

• 该算法在 O(log²n / β) 深度和 O(m) 工作量下计算出 (β, O(log n / β)) 分解，与最优已知串行保证一致。
• 每次迭代的成功概率为常数，因此期望迭代次数为 O(1)，从而得到期望工作量和深度的界。
• 由于偏移最短路径距离的性质，每个簇的强直径以高概率被限制在 O(log n / β) 以内。
• 簇间边数以高概率不超过 βm，这是通过边边界上的集中不等式推导得出的。
• 该方法可在 PRAM 模型中高效实现，使用并行 BFS，工作量为 O(m)，深度为 O(log²n / β)。
• 随机偏移的使用可被顶点的随机排列替代，提供一种计算成本可能更低的实际替代方案。