[论文解读] Parallel Range, Segment and Rectangle Queries with Augmented Maps

Yihan Sun, Guy E. Blelloch|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2018

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 4

一句话总结

本文提出了一种简单、理论高效且高度可并行化的框架，用于解决二维范围、线段和矩形查询问题，采用增强映射（augmented maps）实现。通过将问题建模为两级增强映射结构，其中外层使用多层树或基于扫描线的前缀结构，作者实现了工作高效的构建（O(n log n)）和近乎对数时间复杂度的并行深度，查询时间接近输出大小的线性时间。其实现方案在查询速度上比 CGAL 和 Boost 库最高提升 1400 倍，并在 72 核系统上实现了 68 倍的并行加速。

ABSTRACT

The range, segment and rectangle query problems are fundamental problems in computational geometry, and have extensive applications in many domains. Despite the significant theoretical work on these problems, efficient implementations can be complicated. We know of very few practical implementations of the algorithms in parallel, and most implementations do not have tight theoretical bounds. We focus on simple and efficient parallel algorithms and implementations for these queries, which have tight worst-case bound in theory and good parallel performance in practice. We propose to use a simple framework (the augmented map) to model the problem. Based on the augmented map interface, we develop both multi-level tree structures and sweepline algorithms supporting range, segment and rectangle queries in two dimensions. For the sweepline algorithms, we propose a parallel paradigm and show corresponding cost bounds. All of our data structures are work-efficient to build in theory and achieve a low parallel depth. The query time is almost linear to the output size. We have implemented all the data structures described in the paper using a parallel augmented map library. Based on the library each data structure only requires about 100 lines of C++ code. We test their performance on large data sets (up to $10^8$ elements) and a machine with 72-cores (144 hyperthreads). The parallel construction achieves 32-68x speedup. Speedup numbers on queries are up to 126-fold. Our sequential implementation outperforms the CGAL library by at least 2x in both construction and queries. Our sequential implementation can be slightly slower than the R-tree in the Boost library in some cases (0.6-2.5x), but has significantly better query performance (1.6-1400x) than Boost.

研究动机与目标

• 开发理论高效且实用的二维范围、线段和矩形查询并行算法，具备紧密的理论界限。
• 通过统一的增强映射抽象，简化复杂几何数据结构的实现。
• 在低开销下实现高性能并行处理，支持大规模数据集上的快速构建与查询。
• 在保持理论保证的前提下，超越现有库（如 CGAL 和 Boost）在串行与并行性能上的表现。

提出的方法

• 将范围、线段和矩形查询建模为两级增强映射结构：外层映射具有增强值，内层通过增强树实现。
• 以并行增强映射（PAM）库为基础，实现对数时间复杂度的并行深度和构建过程的最优串行工作量。
• 引入前缀结构作为增强树的替代方案用于外层映射，使在特定条件下可实现基于扫描线算法的高效性，且并行深度为 O(n^ε)。
• 设计用于构建前缀结构的并行范式，并在输入函数满足特定性质时提供理论成本界限。
• 所有数据结构均基于 PAM 库实现，每种结构仅需约 100 行 C++ 代码，确保工程上的简洁性。
• 利用增强映射抽象，统一支持所有问题类型的列表全部、计数和加权和查询。

实验结果

研究问题

• RQ1 统一的增强映射抽象是否能在保持理论效率的同时，简化复杂几何数据结构的实现？
• RQ2 在并行执行下，基于多层树与基于扫描线的算法在构建与查询性能方面如何比较？
• RQ3 增强映射框架在大规模几何查询中，能在多大程度上同时实现理论保证与实际高性能？
• RQ4 所提出的实现方案在串行与并行环境下，与成熟库（如 CGAL 和 Boost）相比性能如何？
• RQ5 输出大小对查询性能有何影响？理论界限在实际可扩展性中如何体现？

主要发现

• 在 72 核系统（144 个超线程）上，数据结构的并行构建实现了最高 68 倍的加速，展现出强大的可扩展性。
• 并行查询性能最高实现 126 倍加速，其中表现最佳的实现（如 RecSwp）在小查询窗口下比 Boost R-tree 快高达 1400 倍。
• 串行实现的构建与查询时间均比 CGAL 快至少 2 倍，且在大多数情况下与或优于 Boost R-tree。
• 基于扫描线的算法（如 RecSwp、SegSwp）在小窗口查询与计数查询中表现更优，得益于更优的理论界限；而两级树结构在大窗口查询中表现更佳，得益于更好的数据局部性。
• 每种数据结构的实现仅需基于 PAM 库约 100 行 C++ 代码，凸显了该框架的简洁性与可维护性。
• 理论工作量界限与最优值相差一个 log n 因子，所有构建过程均为工作高效（O(n log n)），基于树的结构具有对数时间复杂度的并行深度，而扫描线算法的并行深度为 O(n^ε)。