[论文解读] Parallel Set Cover and Hypergraph Matching via Uniform Random Sampling

Laxman Dhulipala, Michael Dinitz+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

Algorithms and Data Compression被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的、与模型无关的并行无权集合覆盖和超图匹配方法，通过均匀随机采样集合或元素实现。通过基于元素覆盖度采样集合，并迭代移除已覆盖元素，该方法在 MPC 和 PRAM 模型中显著降低了轮数复杂度，同时实现了改进的近似保证——(1+ϵ)f 和 (1+ϵ)H∆，相比之前的工作在深度和轮数上提升了 logΩ(1)n 因子。

ABSTRACT

The SetCover problem has been extensively studied in many different models of computation, including parallel and distributed settings. From an approximation point of view, there are two standard guarantees: an O(log Δ)-approximation (where Δ is the maximum set size) and an O(f)-approximation (where f is the maximum number of sets containing any given element). In this paper, we introduce a new, surprisingly simple, model-independent approach to solving SetCover in unweighted graphs. We obtain multiple improved algorithms in the MPC and CRCW PRAM models. First, in the MPC model with sublinear space per machine, our algorithms can compute an O(f) approximation to SetCover in Ô(√{log Δ} + log f) rounds and a O(log Δ) approximation in O(log^{3/2} n) rounds. Moreover, in the PRAM model, we give a O(f) approximate algorithm using linear work and O(log n) depth. All these bounds improve the existing round complexity/depth bounds by a log^{Ω(1)} n factor. Moreover, our approach leads to many other new algorithms, including improved algorithms for the HypergraphMatching problem in the MPC model, as well as simpler SetCover algorithms that match the existing bounds.

研究动机与目标

• 解决在现代分布式和共享内存模型中，实现高效、低轮数并行算法以求解无权集合覆盖和超图匹配的挑战。
• 通过引入统一的基于采样的方法，克服特定模型技术的局限性，使其在 MPC 和 PRAM 模型中均适用。
• 在并行环境中改进现有轮数复杂度和深度界，适用于 f-近似和 H∆-近似。
• 将该方法扩展至超图匹配，证明其在集合覆盖之外的适用性。
• 提供一个简单直观的框架，与经典序列贪心算法并行，同时支持高效的并行化。

提出的方法

• 基于元素覆盖度对集合进行均匀随机采样，以识别应纳入解中的高影响力集合。
• 通过移除被采样集合覆盖的所有元素，维护一个残差实例，并在后续轮次中重复该过程。
• 基于集合大小采用分桶策略，使用 (1+ϵ)-乘法因子将集合按近似大小分组，以指导采样。
• 在 PRAM 中利用近似前缀和，以 O(log log n) 深度高效估计集合大小，实现可扩展的大小估计。
• 使用别名方法在并行中为集合分配采样步骤，确保各轮次间工作负载均衡。
• 在执行过程中对低于大小阈值的集合重新分桶，以维持近似保证并避免过早终止。

实验结果

研究问题

• RQ1 一种简单、与模型无关的采样技术是否能在并行模型中实现集合覆盖的有竞争力近似比？
• RQ2 对集合或元素进行均匀随机采样，是否能带来比现有 MPC 和 PRAM 算法更优的轮数复杂度？
• RQ3 该采样框架在多大程度上可扩展至超图匹配？与现有解决方案相比表现如何？
• RQ4 在并行环境中使用随机采样时，近似质量与轮数复杂度之间的权衡是什么？
• RQ5 该方法是否能在 MPC 和 PRAM 模型中高效实现，且具备接近最优的工作量和深度？

主要发现

• 在 MPC 模型中，该算法以每台机器子线性空间，在 ˆO(√log ∆ + log f) 轮内实现 O(f)-近似，相比之前工作提升了 logΩ(1)n 因子。
• 对于 O(log ∆)-近似，该算法在 MPC 中运行于 O(log³/² n) 轮，同样将轮数复杂度提升了 logΩ(1)n 因子。
• 在 CRCW PRAM 模型中，该算法以 O(n + m) 工作量和 O(log² n log log n) 深度计算出 (1+ϵ)f-近似，达到或优于已知界。
• 该算法在 PRAM 中以 O(log n) 深度实现 (1+ϵ)H∆-近似，工作量复杂度为 O(n + m)，展现出高效性和可扩展性。
• 该方法可推广至 MPC 中的超图匹配，实现优于或匹配于之前工作的界。
• 该框架具有鲁棒性且与模型无关，可在 MPC 和 PRAM 中高效实现，仅需极少修改。