[论文解读] Parallel spinors and holonomy groups on pseudo-Riemannian spinmanifolds

Helga Baum, Ines Kath|ArXiv.org|Mar 18, 1998

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用 14

一句话总结

本文分类了单连通、不可约、非局部对称的伪黎曼自旋流形在存在平行自旋子时的全纯群，将经典黎曼情形的结果推广至不定度量符号的情形。通过全纯群作用下自旋子模的不变性，识别出所有可能的全 holonomy 群（如 SU(p,q)、Sp(p,q)、G₂*、Spin(7)C），并完全刻画了平行自旋子的手征性和因果类型，表明其维数与几何性质由流形的度量符号和维数唯一确定。

ABSTRACT

We describe the possible holonomy groups of simply connected irreducible non-locally symmetric pseudo-Riemannian spin manifolds which admit parallel spinors.

研究动机与目标

• 将王对具有平行自旋子的黎曼流形全 holonomy 群的分类结果推广至伪黎曼情形。
• 确定伯杰列表中的哪些全 holonomy 群可在不定度量符号情形下支持非平凡的平行自旋子。
• 完全刻画不可约、非局部对称的伪黎曼自旋流形上平行自旋子的手征性和因果类型。
• 建立一个完整的可能全 holonomy 群列表，其非零平行自旋子空间由维数和指标参数化。

提出的方法

• 将平行自旋子空间识别为全 holonomy 群作用下自旋子模的不变子空间：$ V_{\tilde{H}} = \{ v \in \Delta_{r,s} \mid \rho(\tilde{H})v = v \} $。
• 利用 $ \dim V_{\tilde{H}} $ 仅依赖于复化李代数的实形式这一事实，将计算归约为紧致实形式。
• 对伯杰列表中的每个全 holonomy 群，使用自旋子演算和 Clifford 代数的表示理论显式计算 $ V_{\tilde{H}} $。
• 通过 $ \Delta_{r,s} $ 上的不定内积，确定平行自旋子的手征性（正/负自旋子丛）和因果类型（零化、非零化、正交）。
• 利用双重覆盖 $ \lambda: \mathrm{Spin}(r,s) \to \mathrm{SO}(r,s) $，将 $ \mathrm{Spin}(r,s) $ 中的全 holonomy 与正交全 holonomy 群联系起来。
• 利用已知的 Clifford 代数及其自旋子表示的同构关系，特别是偶数维与奇数维情形，分析 $ \Delta_{r,s} $ 的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 不可约、非局部对称的伪黎曼自旋流形的哪些全 holonomy 群可支持非平凡的平行自旋子？
• RQ2 对于每个此类全 holonomy 群，平行自旋子空间的精确维数是多少？
• RQ3 平行自旋子的手征性和因果类型如何依赖于度量符号 $ (r,s) $ 和全 holonomy 群？
• RQ4 伪黎曼情形下平行自旋子的分类能否归约为复化李代数的紧致实形式？
• RQ5 每个可能的全 holonomy 群作用下固定的自旋子空间的几何与代数结构是什么？

主要发现

• 全 holonomy 群 $ H = \mathrm{SU}(p,q) \subset \mathrm{SO}(2p,2q) $ 恰好支持两个平行自旋子，其手征性和因果性取决于 $ p+q $ 和 $ p $ 的奇偶性。
• 对于 $ H = \mathrm{Sp}(p,q) \subset \mathrm{SO}(4p,4q) $，平行自旋子空间的维数为 $ p+q+1 $，所有自旋子均位于同一手征性分支，且具有相同的因果类型。
• 全 holonomy 群 $ \mathrm{G}_2^*_{2(2)} \subset \mathrm{SO}(4,3) $ 恰好支持一个非平凡的平行自旋子，该自旋子为非零化。
• 群 $ \mathrm{Spin}(7)^\mathbb{C} \subset \mathrm{SO}(8,8) $ 恰好支持一个平行自旋子，该自旋子为非零化，且位于正手征性丛中。
• 在 $ \mathrm{G}_2^\mathbb{C} \subset \mathrm{SO}(7,7) $ 情形下，平行自旋子空间维数为 2，两个自旋子均为零化，但彼此不正交。
• 该分类表明，平行自旋子的存在性及其性质完全由流形的维数与指标以及全 holonomy 群的类型唯一决定。