[论文解读] Parallel two-scale finite element implementation of a system with varying microstructures

Omar Richardson, Omar Lakkis+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2021

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 44被引用 4

一句话总结

本文提出了一种并行的多尺度有限元方法，通过使用微分同胚和拉回算子，将异质微观结构映射到参考域，从而高效地建模，实现对多尺度PDE系统的可扩展、高精度模拟——在植物组织中的养分传输问题上进行了验证，收敛性与强并行加速效果均得到确认。

ABSTRACT

We propose a two-scale finite element method designed for heterogeneous microstructures. Our approach exploits domain diffeomorphisms between the microscopic structures to gain computational efficiency. By using a conveniently constructed pullback operator, we are able to model the different microscopic domains as macroscopically dependent deformations of a reference domain. This allows for a relatively simple finite element framework to approximate the underlying PDE system with a parallel computational structure. We apply this technique to a model problem where we focus on transport in plant tissues. We illustrate the accuracy of the implementation with convergence benchmarks and show satisfactory parallelization speed-ups. We further highlight the effect of the heterogeneous microscopic structure on the output of the two-scale systems. Our implementation (publicly available on GitHub) builds on the deal.II FEM library. Application of this technique allows for an increased capacity of microscopic detail in multiscale modeling, while keeping running costs manageable.

研究动机与目标

• 开发一种计算高效的有限元框架，用于处理具有变化、异质微观结构的多尺度PDE系统。
• 通过使用微分同胚将微观结构映射到参考域，降低在复杂微尺度几何结构上求解的计算成本。
• 通过域分解和多线程计算实现并行计算，确保在HPC资源上的可扩展性。
• 在涉及耦合椭圆PDE的植物传输模型上，验证该方法的准确性和高效性。
• 基于deal.II有限元库，提供一个公开可获取、可扩展的框架，用于生物与材料科学中的多尺度建模。

提出的方法

• 该方法采用拉回算子，将变化的微观域映射到单一参考域，避免对每个微域重复生成网格。
• 采用两尺度有限元格式，宏观与微观问题通过界面项弱耦合，同时求解。
• 在通过依赖宏观坐标的微分同胚变形的参考域上求解微观PDE。
• 通过宏观域分解和子域内多线程支持并行化，实现高效的HPC部署。
• 该方法应用于一组耦合椭圆PDE系统，用于模拟植物组织中的养分传输、消耗与产物生成。
• 收敛性基准测试确认了有限元近似达到预期的理论收敛阶次。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不为每个微域单独生成网格的前提下，高效建模多尺度PDE系统中的异质微观结构？
• RQ2 变化的微结构几何对输运问题中宏观与微观解分布有何影响？
• RQ3 两尺度有限元方法是否能在保持计算可扩展性的同时实现最优收敛速率？
• RQ4 所提出的并行实现方式在多处理器上的加速效果与负载均衡性能如何？
• RQ5 该框架在植物输运问题之外的其他多尺度问题中，其通用性在多大程度上成立？

主要发现

• 有限元近似以预期的理论收敛阶次收敛，证实了该方法的准确性。
• 并行实现获得了令人满意的加速效果，表明在测试节点数下具有良好的可扩展性。
• 数值结果表明，异质微观结构几何显著影响宏观与微观解的分布。
• 通过使用微分同胚和拉回算子，可在无需对每个域显式网格化的情况下，高效建模多种多样的微观结构。
• 该框架已在GitHub上公开，基于deal.II有限元库构建，确保了可重现性与可扩展性。
• 即使在复杂且空间变化的微观结构下，该方法仍保持计算效率，实现了高分辨率建模且计算成本可控。