[论文解读] Parallelogram polyominoes, the sandpile model on a complete bipartite graph, and a q,t-Narayana polynomial

Mark Dukes, Yvan Le Borgne|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文在具有指定汇点的完全二分图 $K_{m,n}$ 上的阿贝尔沙堆模型的递归配置与 $m \times n$ 边界框内的带装饰平行四边形多格骨牌之间建立了双射关系。它引入了 $q,t$-Narayana 多项式作为这些多格骨牌上双统计量 $(\mathsf{area}, \mathsf{parabounce})$ 的生成函数，将哈格伦德的 bounce 统计量扩展到一个新的组合类，并在众多特例中证明了对称性。

ABSTRACT

We classify recurrent configurations of the sandpile model on the complete bipartite graph K_{m,n} in which one designated vertex is a sink. We present a bijection from these recurrent configurations to decorated parallelogram polyominoes whose bounding box is a m*n rectangle. Several special types of recurrent configurations and their properties via this bijection are examined. For example, recurrent configurations whose sum of heights is minimal are shown to correspond to polyominoes of least area. Two other classes of recurrent configurations are shown to be related to bicomposition matrices, a matrix analogue of set partitions, and (2+2)-free partially ordered sets. A canonical toppling process for recurrent configurations gives rise to a path within the associated parallelogram polyominoes. This path bounces off the external edges of the polyomino, and is reminiscent of Haglund's well-known bounce statistic for Dyck paths. We define a collection of polynomials that we call q,t-Narayana polynomials, defined to be the generating function of the bistatistic (area,parabounce) on the set of parallelogram polyominoes, akin to the (area,hagbounce) bistatistic defined on Dyck paths in Haglund (2003). In doing so, we have extended a bistatistic of Egge, Haglund, Kremer and Killpatrick (2003) to the set of parallelogram polyominoes. This is one answer to their question concerning extensions to other combinatorial objects. We conjecture the q,t-Narayana polynomials to be symmetric and prove this conjecture for numerous special cases. We also show a relationship between Haglund's (area,hagbounce) statistic on Dyck paths, and our bistatistic (area,parabounce) on a sub-collection of those parallelogram polyominoes living in a (n+1)*n rectangle.

研究动机与目标

• 对具有一个指定汇点顶点的完全二分图 $K_{m,n}$ 上的阿贝尔沙堆模型的递归配置进行分类。
• 在这些递归配置与被 $m \times n$ 矩形边界限定的带装饰平行四边形多格骨牌之间建立组合双射。
• 在平行四边形多格骨牌上定义并研究一种新的双统计量 $(\mathsf{area}, \mathsf{parabounce})$，其类似于哈格伦德在 Dyck 路径上的 bounce 统计量。
• 引入并研究作为该双统计量生成函数的 $q,t$-Narayana 多项式，其与已知组合对象存在联系。
• 回应埃盖等人（2003 年）关于将 $q,t$-Catalan 统计量扩展到新组合家族的问题，提出将该扩展自然地推广到平行四边形多格骨牌。

提出的方法

• 为递归配置构造一个标准的下落过程，该过程在相关平行四边形多格骨牌内部诱导出一条路径。
• 将 $\mathsf{parabounce}$ 统计量定义为该路径在多格骨牌外边缘反弹的次数，类似于哈格伦德在 Dyck 路径上的 bounce 统计量。
• 将 $q,t$-Narayana 多项式 $F_{m,n}(q,t)$ 定义为所有位于 $m \times n$ 边界框内的平行四边形多格骨牌上双统计量 $(\mathsf{area}, \mathsf{parabounce})$ 的生成函数。
• 利用递归配置与多格骨牌之间的双射，将配置的性质（例如高度和的最小值、几乎非零配置）转移至多格骨牌结构。
• 在众多特例中证明 $q,t$-Narayana 多项式在 $q$ 和 $t$ 上的对称性，包括小值 $m,n$ 的 $F_{m,n}(q,t)$。
• 建立在 $(n+1) \times n$ 矩形内的多格骨牌子族上 $\mathsf{parabounce}$ 统计量与哈格伦德在 Dyck 路径上的 $\mathsf{hagbounce}$ 统计量之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对具有单个汇点顶点的 $K_{m,n}$ 上的沙堆模型的递归配置进行分类，并将其与组合对象双射对应？
• RQ2 能否通过平行四边形多格骨牌上的双统计量构造出 Narayana 数的 $q,t$-类比，从而扩展 $q,t$-Catalan 框架？
• RQ3 $q,t$-Narayana 多项式是否在 $q$ 和 $t$ 上对称？如果是，其成立的条件或子类是什么？
• RQ4 平行四边形多格骨牌上的 $\mathsf{parabounce}$ 统计量与哈格伦德在 Dyck 路径上的 $\mathsf{hagbounce}$ 统计量之间存在何种关系？
• RQ5 特殊类别的递归配置（如最小或几乎非零配置）如何对应于已知的组合结构，如双组合矩阵或 (2+2)-自由偏序集？

主要发现

• 在具有汇点的 $K_{m,n}$ 上的沙堆模型的递归配置与 $m \times n$ 边界框内的平行四边形多格骨牌之间存在双射关系。
• 高度和最小的递归配置恰好对应于面积最小的缎带平行四边形多格骨牌。
• $K_{n,n}$ 上的几乎非零递归配置与双组合矩阵一一对应，而上三角双组合矩阵则对应于一个特殊子类。
• $q,t$-Narayana 多项式 $F_{m,n}(q,t)$ 定义为平行四边形多格骨牌上双统计量 $(\mathsf{area}, \mathsf{parabounce})$ 的生成函数，且对小的 $m,n$ 提供了显式的有理生成函数。
• $F_{m,n}(q,t)$ 在所有测试情况下均关于 $q$ 和 $t$ 对称，包括 $F_{2,2}, F_{3,3}, F_{2,3}, F_{3,4}, F_{4,4}, F_{3,5}, F_{2,6}$，作者在众多特例中证明了对称性。
• 在 $(n+1) \times n$ 矩形内的平行四边形多格骨牌的一个子族中，其 $\mathsf{parabounce}$ 统计量与哈格伦德在 Dyck 路径上的 $\mathsf{hagbounce}$ 统计量完全匹配，从而在两个设定之间建立了直接联系。