[论文解读] Parameter-Dependent S-Procedure And Yakubovich Lemma

Sergei V. Gusev|ArXiv.org|Dec 27, 2006

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文建立了参数依赖型线性矩阵不等式（LMIs）在参数于紧致空间变化时存在连续解的条件。该研究将 Yakubovich 引理和 S-过程推广至参数依赖情形，实现了对具有参数不确定性的非线性系统进行鲁棒稳定性分析的参数依赖型 Lyapunov 函数的构造。主要贡献在于将多项式参数依赖型 LMIs 降阶为更高维的参数无关型 LMIs，从而实现对非平方和多项式（non-sum-of-squares polynomials）正定性的有效验证，并支持鲁棒控制设计。

ABSTRACT

The paper considers a linear matrix inequality (LMI) that depends on a parameter varying in a compact topological space. It turns out that if a strict LMI continuously depends on a parameter and is feasible for any value of that parameter, then it has a solution which continuously depends on the parameter. The result holds true for LMIs that arise in S-procedure and Yakubovich lemma. It is shown that the LMI which is polynomially dependent on a vector of parameters can be reduced to a parameter-independent LMI of a higher dimension. The result is based on the recent generalization of Yakubovich lemma proposed by Iwasaki and Hara and another generalization formulated in this paper. The problem of positivity verification for a non-SOS polynomial of two variables is considered as an example. To illustrate control applications, a method of parameter-dependent Lyapunov function construction is proposed for nonlinear systems with parametric uncertainty.

研究动机与目标

• 建立当参数在紧致拓扑空间上变化时，参数依赖型线性矩阵不等式（LMIs）存在连续解的条件。
• 将 S-过程与 Yakubovich 引理推广至参数依赖情形，确保严格不等式下无损松弛。
• 提出一种将多项式参数依赖型 LMIs 转化为更高维参数无关型 LMIs 的方法。
• 通过参数依赖型 Lyapunov 函数实现对具有参数不确定性的非线性系统的鲁棒稳定性分析。
• 通过将问题转化为有限维 LMI 可行性问题，验证非平方和多项式的正定性。

提出的方法

• 证明：若一个严格 LMI 连续依赖于紧致参数集且对所有参数值均可行，则存在连续解。
• 将广义 Yakubovich 引理与 S-过程应用于参数依赖型频域不等式，确保连续拉格朗日乘子的存在性。
• 通过系数向量化与仿射映射，将多项式参数依赖型 LMIs 降阶为参数无关型 LMIs。
• 利用 MATLAB 中的 LMI 工具箱，通过求解降阶后的 LMI 系统，对非 SOS 多项式的正定性进行数值验证。
• 通过求解参数依赖型 LMI 系统，为具有参数不确定性的非线性系统构造参数依赖型 Lyapunov 函数。
• 采用基于 S-过程的松弛技术，将二次约束转化为 LMI 可行性问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，连续依赖于紧致参数集的参数依赖型 LMI 存在连续解？
• RQ2 S-过程与 Yakubovich 引理能否在保持无损性的同时推广至参数依赖型不等式？
• RQ3 如何将多项式参数依赖型 LMI 转化为等价的更高维参数无关型 LMI？
• RQ4 该框架能否验证非平方和多项式的正定性？
• RQ5 能否为具有参数不确定性的非线性系统构造参数依赖型 Lyapunov 函数以实现鲁棒稳定性分析？

主要发现

• 对于任意严格可行、连续依赖于紧致参数集的参数依赖型 LMI，均存在连续解，确保在控制应用中的鲁棒性。
• 当参数依赖连续且不等式严格时，参数依赖型 S-过程与 Yakubovich 引理为无损形式。
• 通过系数向量化与仿射映射，多项式参数依赖型 LMIs 可被降阶为单个更高维的参数无关型 LMI。
• 该方法成功验证了非 SOS 多项式 $ x^4y^2 + x^2y^4 - 3x^2y^2 + 1 + 10^{-11} $ 对所有实数 $ x, y $ 均为正。
• 该方法可为系统矩阵以多项式方式变化且存在参数不确定性的非线性系统构造参数依赖型 Lyapunov 函数。
• 使用 LMI 工具箱的数值实验验证了降阶后 LMI 系统的可行性，正定性验证精度极高。