[论文解读] Parameter estimation for fractional Ornstein-Uhlenbeck processes of general Hurst parameter

Yaozhong Hu, David Nualart+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2017

Stochastic processes and financial applications被引用 4

一句话总结

本文为由分数布朗运动驱动的分数阶Ornstein-Uhlenbeck过程的漂移和波动率参数开发了统计估计量，其赫斯特参数 $H \in (0,1)$ 为一般值。通过引入高阶幂变差来估计波动率，并在所有 $H$ 范围内建立了漂移参数最小二乘估计量的几乎必然收敛性以及中心或非中心极限定理，从而完全解决了先前工作中遗留的一个开放问题。

ABSTRACT

This paper provides several statistical estimators for the drift and volatility parameters of an Ornstein-Uhlenbeck process driven by fractional Brownian motion, whose observations can be made either continuously or at discrete time instants. First and higher order power variations are used to estimate the volatility parameter. The almost sure convergence of the estimators and the corresponding central limit theorems are obtained for all the Hurst parameter range $H\in (0, 1)$. The least squares estimator is used for the drift parameter. A central limit theorem is proved when the Hurst parameter $H \in (0, 1/2)$ and a noncentral limit theorem is proved for $H\in[3/4, 1)$. Thus, the open problem left in the paper by Hu and Nualart (2010) is completely solved, where a central limit theorem for least squares estimator is proved for $H\in [1/2, 3/4)$.

研究动机与目标

• 为由分数布朗运动驱动的分数阶Ornstein-Uhlenbeck过程的漂移和波动率参数开发一致且渐近正态的估计量。
• 消除先前在基于幂变差的集成波动率估计中对 $H \leq 3/4$ 的限制。
• 在 $H \in (0,1)$ 的全范围内建立漂移参数 $\theta$ 的最小二乘估计量的中心极限定理与非中心极限定理，解决先前工作中的一个开放问题。
• 为连续与离散观测方案下参数估计提供统一的统计框架。

提出的方法

• 使用高阶幂变差 $V^{n}_{k,p}(X)_T = \sum_{i=1}^{[nT]-k+1} \left| \sum_{j=0}^k (-1)^{k-j} \binom{k}{j} X_{(i+j-1)/n} \right|^p$ 来估计集成波动率 $\int_0^T |\sigma_s|^p ds$。
• 应用四阶矩定理及多重伊藤-维纳混沌积分的中心极限定理，推导波动率估计量的渐近正态性。
• 采用最小二乘估计量 $\hat{\theta}_T = - \frac{\int_0^T X_t dX_t}{\int_0^T X_t^2 dt}$，其中随机积分以斯科罗霍德意义解释。
• 通过在紧致时间区间上概率的统一收敛性，建立波动率估计量的几乎必然收敛性。
• 利用表示式 $X_t = \sigma \int_0^t e^{-\theta(t-s)} dB_s^H + e^{-\theta t} \xi$，其中 $\xi = \sigma \int_{-\infty}^0 e^{\theta s} dB_s^H$，分析平稳解并应用遍历定理。
• 应用皮坎德斯关于 $Y_t$ 协方差结构的定理，证明对所有 $\alpha > 0$，有 $Y_T / T^\alpha \to 0$ 几乎必然成立，从而支持遍历性论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 高阶幂变差能否在 $H \in (0,1)$ 的全范围内一致估计分数阶Ornstein-Uhlenbeck过程的集成波动率，突破先前 $H \leq 3/4$ 的限制？
• RQ2 当 $H \in (0,1/2)$ 时，漂移参数 $\theta$ 的最小二乘估计量的渐近分布为何？
• RQ3 当 $H \in [3/4,1)$ 时，最小二乘估计量的渐近行为如何变化？能否建立非中心极限定理？
• RQ4 波动率估计量的几乎必然收敛性是否在时间上一致且在紧致区间上以概率统一成立？

主要发现

• 高阶幂变差估计量 $|\hat{\sigma}_T|^p = \frac{n^{-1+pH} V^{n}_{k,p}(X)_T}{c_{k,p} T}$ 几乎必然收敛于 $|\sigma|^p$，当 $n \to \infty$ 时，且在紧致时间区间上以概率一致成立。
• 当 $H \in (0,1)$ 时，建立了波动率估计量的中心极限定理，其渐近方差依赖于 $c_{k,p}$ 与罗森布拉特分布的四阶累积量。
• 对于最小二乘估计量 $\hat{\theta}_T$，当 $H \in (0,1/2)$ 时，中心极限定理成立，且 $\sqrt{T}(\hat{\theta}_T - \theta) \xrightarrow{d} N(0, \sigma^2 \theta^{-1} / (2H-1)(4H-3))$。
• 当 $H \in [3/4,1)$ 时，$\sqrt{T}(\hat{\theta}_T - \theta)$ 的极限分布为非高斯分布，收敛于一个罗森布拉特随机变量，其显式方差表达式涉及 $H$ 与 $\theta$。
• 遍历定理表明，对所有 $H \in (0,1)$，有 $\frac{1}{T} \int_0^T X_t^2 dt \to \sigma^2 \theta^{-2H} H \Gamma(2H)$ 几乎必然且在 $L^2$ 范数下收敛，当 $T \to \infty$ 时。
• 对所有 $H \in (0,1)$，已证明 $Y_T / T^\alpha \to 0$ 几乎必然成立，对任意 $\alpha > 0$，从而支持过程 $Y_t$ 的遍历性与平稳性。