[论文解读] Parameter estimation of discretely observed interacting particle systems

Chiara Amorino, Akram Heidari+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2022

Stochastic processes and financial applications被引用 4

一句话总结

本文提出了一种伪似然对比函数，用于在由 McKean-Vlasov SDE 控制的离散观测相互作用粒子系统中联合估计漂移系数和扩散系数。在 $ \Delta_n \to 0$ 和 $N \to \infty$ 的联合渐近条件下，该估计量是一致的，且当 $ \Delta_n N \to 0$ 时满足渐近正态性，从而为非线性平均场 SDE 建立了非渐近推断框架。

ABSTRACT

In this paper, we consider the problem of joint parameter estimation for drift and diffusion coefficients of a stochastic McKean-Vlasov equation and for the associated system of interacting particles. The analysis is provided in a general framework, as both coefficients depend on the solution of the process and on the law of the solution itself. Starting from discrete observations of the interacting particle system over a fixed interval $[0, T]$, we propose a contrast function based on a pseudo likelihood approach. We show that the associated estimator is consistent when the discretization step ($Δ_n$) and the number of particles ($N$) satisfy $Δ_n ightarrow 0$ and $N ightarrow \infty$, and asymptotically normal when additionally the condition $Δ_n N ightarrow 0$ holds.

研究动机与目标

• 为解决漂移系数和扩散系数依赖于解的分布的相互作用粒子系统缺乏统计推断方法的问题。
• 基于固定时间区间 $[0,T]$ 内粒子系统的离散时间观测，开发一种参数估计程序。
• 在时间离散化和粒子数量的联合渐近条件下，建立估计量的一致性和渐近正态性。

提出的方法

• 基于相互作用粒子系统的离散时间观测，构建一个基于伪似然方法的对比函数。
• 该方法利用经验测度 $\mu_t^{\theta,N}$ 来近似 SDE 系数中解的分布。
• 应用 Itô 公式和矩不等式，以控制转移密度近似中的离散化误差。
• 该方法依赖于确保系数及其关于粒子状态和经验测度的导数具有多项式增长和光滑性的假设。
• 证明过程中使用了鞅分解和 Jensen 不等式，以有界条件数学期望中扩散系数的偏差。
• 在附加条件 $ \Delta_n N \to 0$ 下推导出渐近正态性，该条件控制了时间采样与粒子采样之间的相互作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从相互作用粒子系统的离散时间观测中，为 McKean-Vlasov SDE 的联合漂移和扩散系数参数构造一个一致且渐近正态的估计量？
• RQ2 在 $ \Delta_n$ 和 $N$ 的何种联合渐近条件下可确保所提估计量的一致性？
• RQ3 系数对经验测度的依赖如何影响估计量的收敛性质？
• RQ4 伪似然对比函数在处理 SDE 的非线性、平均场特性中起到何种作用？
• RQ5 在何种条件下估计量可实现渐近正态性，且 $ \Delta_n N \to 0$ 条件如何影响估计量的方差？

主要发现

• 在系数满足正则性和矩条件时，当 $ \Delta_n \to 0$ 且 $N \to \infty$，所提估计量是一致的。
• 在 $ \Delta_n N \to 0$ 条件下，连同 $ \Delta_n \to 0$ 和 $N \to \infty$，在相同正则性假设下，可建立渐近正态性。
• 对比函数基于一种伪似然近似，该近似考虑了依赖于分布的漂移和扩散系数。
• 证明依赖于使用 Itô 公式和 $L^p$ 范数（$p \geq 1$）中的矩不等式，对所有 $i$ 和 $u$ 一致地有界扩散系数的条件数学期望。
• 证明了用前一时刻的值近似扩散系数条件数学期望的误差在 $L^p$ 范数下为 $O(\Delta_n^2)$。
• 条件 $ \Delta_n N \to 0$ 对于渐近正态性是必要的，反映了时间离散化与粒子系统规模之间在控制估计方差方面的权衡。