[论文解读] Parameter-free superconvergent $H(\mathrm{div})$-conforming HDG methods for the Brinkman equations

Guosheng Fu, Yanyi Jin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 21被引用 5

一句话总结

本论文提出了一种参数无关的、超收敛的 $H(\mathrm{div})$-符合的杂交不连续伽辽金（HDG）方法，用于在单纯形和矩形单元网格上求解 Brinkman 方程。该方法采用速度梯度-速度-压力混合格式，实现了在 Stokes 主导和 Darcy 主导两种情形下速度的最优 $L^2$ 误差估计，且在 Stokes 主导情形下，对速度误差投影实现了高阶一阶的超收敛 $L^2$ 误差估计，误差界不依赖于压力的正则性，这是由于 $H(\mathrm{div})$-符合性带来的优势。

ABSTRACT

In this paper, we present new parameter-free superconvergent H(div)-conforming HDG methods for the Brinkman equations on both simplicial and rectangular meshes. The methods are based on a velocity gradient-velocity-pressure formulation, which can be considered as a natural extension of the H(div)-conforming HDG method (defined on simplicial meshes) for the Stokes flow [Math. Comp. 83(2014), pp. 1571-1598]. We obtain optimal error estimates in $L^2$-norms for all the variables in both the Stokes-dominated regime (high viscosity/permeability ratio) and Darcy-dominated regime (low viscosity/permeability ratio). We also obtain superconvergent L^2-estimate of one order higher for a suitable projection of the velocity error, which is typical for (hybrid) mixed methods for elliptic problems. Moreover, thanks to H(div)-conformity of the velocity, our velocity error estimates are independent of the pressure regularity. Preliminary numerical results on both triangular and rectangular meshes in two-space dimensions confirm our theoretical predictions.

研究动机与目标

• 为 Brinkman 方程开发一种在 Stokes 主导和 Darcy 主导两种情形下均表现良好的统一稳定、高阶 HDG 方法。
• 通过利用 $H(\mathrm{div})$-符合性及一种新颖的速度梯度-速度-压力格式，消除其他 HDG 或 DG 方法中常见的稳定参数需求。
• 在对偶问题正则性假设下，首次为 Brinkman 方程实现速度误差的超收敛 $L^2$ 误差估计。
• 确保速度误差估计不依赖于压力正则性，这是不可压缩流体模拟中的关键优势。
• 建立速度场的离散 $H^1$-稳定性结果，为未来扩展至不可压缩 Navier-Stokes 方程提供支持。

提出的方法

• 该方法采用速度梯度-速度-压力混合弱格式，将速度梯度作为主要变量，以增强稳定性与精度。
• 在速度和速度梯度上使用 $H(\mathrm{div})$-符合的有限元空间，确保单元边界上法向通量的连续性。
• 通过杂交化过程在单元边界上引入速度和速度梯度的数值迹变量，实现静态 condensation，从而减少全局自由度。
• 该方法为参数无关，避免了在 DG 或 HDG 方法中通常为保证切向连续性而引入的稳定参数。
• 推导出速度场的离散 $H^1$-稳定性结果，这对将方法推广至 Navier-Stokes 方程的稳定性分析至关重要。
• 通过弱伽辽金类似格式构建离散系统，数值通量通过迹算子定义，稳定项通过速度梯度的散度和法向迹实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种参数无关、$H(\mathrm{div})$-符合的 HDG 方法，在 Stokes 主导和 Darcy 主导两种情形下均实现 Brinkman 方程的最优与超收敛 $L^2$ 误差估计？
• RQ2 速度场的 $H(\mathrm{div})$-符合性是否能消除速度误差估计对压力正则性的依赖，从而实现压力无关性？
• RQ3 能否建立速度场的离散 $H^1$-稳定性结果，从而为未来应用于不可压缩 Navier-Stokes 方程提供支持？
• RQ4 在 Stokes 主导情形下，速度误差的 $L^2$-范数超收敛是否可通过误差的合适投影实现？若可实现，其收敛阶数为多少？
• RQ5 该方法在三角形和矩形单元网格上的数值表现如何？结果是否验证了理论误差估计？

主要发现

• 该方法在 Stokes 主导和 Darcy 主导两种情形下均实现了速度的最优 $L^2$ 误差估计，对于多项式阶数 $k$，收敛阶数为 $k+1$，且不依赖于粘性系数与渗透率的比值。
• 在 Stokes 主导情形下，通过在对偶问题正则性假设下对速度误差进行合适投影，获得了阶数为 $k+2$ 的超收敛 $L^2$ 误差估计。
• 由于 $H(\mathrm{div})$-符合性，速度误差估计不依赖于压力正则性，验证了压力无关性。
• 建立了速度场的离散 $H^1$-稳定性结果，这对自然推广至不可压缩 Navier-Stokes 方程的稳定性分析至关重要。
• 在二维三角形和矩形单元网格上的数值实验验证了速度和速度梯度的理论收敛速率。
• 该方法为参数无关，避免了其他 HDG 或 DG 方法中通常所需的稳定参数，从而提升了鲁棒性与简洁性。