[论文解读] Parameterized Approximation Schemes for Independent Set of Rectangles and Geometric Knapsack

Fabrizio Grandoni, Stefan Kratsch+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 31被引用 3

一句话总结

本文为两个几何装箱问题——最大独立矩形集（MISR）和带旋转的二维几何背包问题（2DKR）——提出了参数化近似方案（PAS）。对于MISR，该方案在时间 $k^{O(k/ϵ^8)}n^{O(1/ϵ^8)}$ 内运行；对于2DKR，效率类似，可在固定 $\varepsilon$ 的情况下以类似FPT的时间获得 $(1+\varepsilon)$-近似解，通过网格分解和核化技术克服了W[1]-难解性障碍。

ABSTRACT

The area of parameterized approximation seeks to combine approximation and parameterized algorithms to obtain, e.g., (1+epsilon)-approximations in f(k,epsilon)n^O(1) time where k is some parameter of the input. The goal is to overcome lower bounds from either of the areas. We obtain the following results on parameterized approximability: - In the maximum independent set of rectangles problem (MISR) we are given a collection of n axis parallel rectangles in the plane. Our goal is to select a maximum-cardinality subset of pairwise non-overlapping rectangles. This problem is NP-hard and also W[1]-hard [Marx, ESA'05]. The best-known polynomial-time approximation factor is O(log log n) [Chalermsook and Chuzhoy, SODA'09] and it admits a QPTAS [Adamaszek and Wiese, FOCS'13; Chuzhoy and Ene, FOCS'16]. Here we present a parameterized approximation scheme (PAS) for MISR, i.e. an algorithm that, for any given constant epsilon>0 and integer k>0, in time f(k,epsilon)n^g(epsilon), either outputs a solution of size at least k/(1+epsilon), or declares that the optimum solution has size less than k. - In the (2-dimensional) geometric knapsack problem (2DK) we are given an axis-aligned square knapsack and a collection of axis-aligned rectangles in the plane (items). Our goal is to translate a maximum cardinality subset of items into the knapsack so that the selected items do not overlap. In the version of 2DK with rotations (2DKR), we are allowed to rotate items by 90 degrees. Both variants are NP-hard, and the best-known polynomial-time approximation factor is 2+epsilon [Jansen and Zhang, SODA'04]. These problems admit a QPTAS for polynomially bounded item sizes [Adamaszek and Wiese, SODA'15]. We show that both variants are W[1]-hard. Furthermore, we present a PAS for 2DKR. For all considered problems, getting time f(k,epsilon)n^O(1), rather than f(k,epsilon)n^g(epsilon), would give FPT time f'(k)n^O(1) exact algorithms by setting epsilon=1/(k+1), contradicting W[1]-hardness. Instead, for each fixed epsilon>0, our PASs give (1+epsilon)-approximate solutions in FPT time. For both MISR and 2DKR our techniques also give rise to preprocessing algorithms that take n^g(epsilon) time and return a subset of at most k^g(epsilon) rectangles/items that contains a solution of size at least k/(1+epsilon) if a solution of size k exists. This is a special case of the recently introduced notion of a polynomial-size approximate kernelization scheme [Lokshtanov et al., STOC'17].

研究动机与目标

• 本文旨在为NP难的几何装箱问题设计参数化近似方案（PAS），以克服不可解性障碍。
• 特别关注解大小 $k$ 参数化时为W[1]-难解的“最大独立矩形集”（MISR）和“带旋转的二维几何背包问题”（2DKR）。
• 目标是设计一种算法，在任意固定的 $\varepsilon > 0$ 下，以 $f(k,\varepsilon)n^{O(1)}$ 时间返回 $(1+\varepsilon)$-近似解，避免使用FPT时间，因为后者会与W[1]-难解性矛盾。
• 还为MISR引入了一种多项式大小近似核化方案（PSAKS），将输入规模减少至 $k^{O(1/\varepsilon^8)}$ 个矩形，同时保持 $(1+\varepsilon)$-近似解。
• 该工作还探讨了将此类方案扩展至加权版本以及无旋转的2DKR问题的挑战，这些问题目前仍是开放问题。

提出的方法

• 通过构建 $k \times k$ 网格，确保每个输入矩形都包含一个网格交叉点，从而实现问题的独立子问题分解。
• 对Frederickson的平面图分解方法进行非平凡的适应性改进，将网格划分为不相交的单元组，每组包含常数数量的最优解矩形。
• 通过动态规划或枚举法在 $n^{O(1/\varepsilon^8)}$ 时间内求解每个子问题，利用每组中最优矩形数量有限的特性。
• 采用一种核化技术，将输入减少至 $k^{O(1/\varepsilon^8)}$ 个矩形，同时保持 $k/(1+\varepsilon)$-近似解，形成PSAKS。
• 对于2DKR，采用类似策略：利用宽度/高度约束将背包划分为区域，并通过辅助物品施加紧致装箱约束，实现递归分解。
• 通过从多子集和问题出发的参数化归约，证明了2DK和2DKR在解大小 $k$ 参数化下均为W[1]-难解，表明若存在FPT算法，则W[1]-难解问题也将存在FPT算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为最大独立矩形集（MISR）问题设计一个参数化近似方案（PAS），实现在 $f(k,\varepsilon)n^{O(1)}$ 时间内的 $(1+\varepsilon)$-近似解？
• RQ2 即使问题为W[1]-难解，能否为带旋转的二维几何背包问题（2DKR）设计PAS？
• RQ3 核化方法能否扩展至在多项式时间内将输入规模减少至 $k^{O(1/\varepsilon^8)}$ 个矩形，同时保持 $(1+\varepsilon)$-近似解？
• RQ4 所提出的方法能否推广至MISR和2DKR的加权版本，其中矩形具有相应的收益？
• RQ5 能否为无旋转的2DK问题构造PAS？因为当前方法依赖旋转来施加结构约束。

主要发现

• 成功设计了MISR的参数化近似方案（PAS），运行时间为 $k^{O(k/\varepsilon^8)}n^{O(1/\varepsilon^8)}$，并提供 $(1+\varepsilon)$-近似解。
• 本文提出了MISR的多项式大小近似核化方案（PSAKS），将输入规模减少至 $k^{O(1/\varepsilon^8)}$ 个矩形，同时保持至少 $k/(1+\varepsilon)$ 的解大小。
• 为2DKR开发了时间复杂度相似的PAS，实现在 $f(k,\varepsilon)n^{O(1)}$ 时间内的 $(1+\varepsilon)$-近似解。
• 本文证明了当以解大小 $k$ 为参数时，2DK和2DKR均为W[1]-难解，除非W[1] = FPT，否则排除了FPT算法的存在。
• 核化技术确保：在约简实例上获得的任何 $c$-近似解，可转化为原实例的 $c(1+\varepsilon)$-近似解。
• 该方法依赖于网格分解和辅助物品来施加紧致装箱约束，从而使得在小规模子问题上使用动态规划成为可能。