[论文解读] Parameterized Complexity of Finding a Maximum Common Vertex Subgraph Without Isolated Vertices

Palash Dey, Anubhav Dhar+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2026

Advanced Graph Theory Research被引用 0

一句话总结

论文研究带有无孤立顶点的最大公共顶点子图，证明 NP-hardness，给出以子图大小 h 为参数的 FPT 算法，并描绘跨结构图参数的综合参数化复杂性谱。

ABSTRACT

In this paper, we study the Maximum Common Vertex Subgraph problem: Given two input graphs $G_1,G_2$ and a non-negative integer $h$, is there a common subgraph $H$ on at least $h$ vertices such that there is no isolated vertex in $H$. In other words, each connected component of $H$ has at least $2$ vertices. This problem naturally arises in graph theory along with other variants of the well-studied Maximum Common Subgraph problem and also has applications in computational social choice. We show that this problem is NP-hard and provide an FPT algorithm when parameterized by $h$. Next, we conduct a study of the problem on common structural parameters like vertex cover number, maximum degree, treedepth, pathwidth and treewidth of one or both input graphs. We derive a complete dichotomy of parameterized results for our problem with respect to individual parameterizations as well as combinations of parameterizations from the above structural parameters. This provides us with a deep insight into the complexity theoretic and parameterized landscape of this problem.

研究动机与目标

• 通过禁止公共子图中的孤立顶点来研究最大公共子图问题的自然变体的动机。
• 证明 NP-hardness 并开发以目标子图大小 h 为参数的 FPT 算法。
• 在结构参数（顶点覆盖数、树深、路径宽、树宽、最大度数）下刻画该问题并给出复杂性二分法。
• 探讨平面实例的潜在逼近及其对计算社会选择中的相关图问题的影响。

提出的方法

• 将 MaxComSubG 及其 No-Isolated-Vertices 变体形式化，展示其等价于寻找最大公共星形森林。
• 给出以 h 为参数的 MaxComSubG 的 FPT 算法，时间复杂度为 2^{O(h)} · n。
• 将 Dominating Set 降至 MaxComSubG 以确立当以顶点覆盖数作为参数时的 W[2]-hardness。
• 通过从 P3-Factor 的归约，证明 MaxComSubG 即使在平面图且最大度为 3 时也 NP-hard。
• 给出一个基于 ILP 的 FPT 方法，针对两图顶点覆盖数之和作为参数情形。
• 提供对具有界定最大度的平面图的EPTAS，补充上述的 hardness 结果。

Figure 1 : Construction of $T_{i}$ .

实验结果

研究问题

• RQ1 当以目标子图大小 h 为参数时，MaxComSubG 的参数化复杂性是多少？
• RQ2 MaxComSubG 在结构参数（顶点覆盖数、树深、路径宽、树宽及其组合）以及最大度数下的表现如何，以及它们的组合如何？
• RQ3 对于不同的单一参数或多参数设置，MaxComSubG 是 FPT 还是困难？
• RQ4 在最大度受限的平面图上，是否可以有效近似 MaxComSubG？
• RQ5 这些结果对相关图论和计算社会选择中的问题有哪些影响？

主要发现

• MaxComSubG 是 NP-hard，当参数化为子图大小 h 时存在 FPT 算法（以子图大小为参数）。
• 当以其中一个输入图的最小顶点覆盖数为参数时，MaxComSubG 是 W[2]-hard。
• 当以两输入图的最大度数之和为参数时，MaxComSubG 是 para-NP-hard。
• 当以两输入图的顶点覆盖数之和为参数时，MaxComSubG 是 FPT。
• 当以两输入图的树深之和为参数时，MaxComSubG 是 para-NP-hard，因此对路径宽或树宽也同样如此。
• 存在以树深之和与最大度数之和参数化的 FPT 算法，以及对顶点覆盖参数化的基于 ILP 的 FPT 方法。
• 即便在平面图且最大度为 3 的情况下也存在 NP-hardness 结果，并且对具有界定度的平面图存在一个 EPTAS。
• 当两图的顶点覆盖数都不超过 k 时，关于最大公共星形森林大小的 FPT 算法存在，运行时间为 2^{2^{O(k)}} · poly(n)。

Figure 2 : Construction of $G_{2}$ .