[论文解读] Parameterized Complexity of Incomplete Connected Fair Division

Harmender Gahlawat, Meirav Zehavi|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Game Theory and Voting Systems被引用 1

一句话总结

本文提出了不完全连通公平分配（ICFD），这是图上公平分配的一种推广，其中恰好分配 p 个顶点给代理人，确保每个代理人获得一个连通子图。尽管 EF、EF1 和 EFX 变体在小的结构参数下仍为 W[1]-难，但 PROP-ICFD 在仅以 p 为参数时被证明是 FPT，通过一种随机着色算法实现，为一个核心公平性概念提供了关键的可解性结果。

ABSTRACT

Fair division of resources among competing agents is a fundamental problem in computational social choice and economic game theory. It has been intensively studied on various kinds of items (divisible and indivisible) and under various notions of fairness. We focus on Connected Fair Division (CFD), the variant of fair division on graphs, where the resources are modeled as an item graph. Here, each agent has to be assigned a connected subgraph of the item graph, and each item has to be assigned to some agent. We introduce a generalization of CFD, termed Incomplete CFD (ICFD), where exactly p vertices of the item graph should be assigned to the agents. This might be useful, in particular when the allocations are intended to be "economical" as well as fair. We consider four well-known notions of fairness: PROP, EF, EF1, EFX. First, we prove that EF-ICFD, EF1-ICFD, and EFX-ICFD are W[1]-hard parameterized by p plus the number of agents, even for graphs having constant vertex cover number (vcn). In contrast, we present a randomized FPT algorithm for PROP-ICFD parameterized only by p. Additionally, we prove both positive and negative results concerning the kernelization complexity of ICFD under all four fairness notions, parameterized by p, vcn, and the total number of different valuations in the item graph (val).

研究动机与目标

• 形式化并分析不完全连通公平分配（ICFD）的参数复杂性，ICFD 是图上公平分配的一种推广，其中恰好分配 p 个顶点。
• 研究 ICFD 在四种公平性准则（PROP、EF、EF1、EFX）下的可解性，考虑结构参数如 p、顶点覆盖数（vcn）、代理人数量（|A|）和不同估值数量（val）等因素。
• 确定 ICFD 在各种参数组合下是否能实现高效的核化或多项式压缩。
• 识别 ICFD 变得可解的条件，特别是针对 PROP 公平性准则。

提出的方法

• 将 ICFD 引入为连通公平分配（CFD）的推广，其中图中恰好分配 p 个顶点给代理人，且每个代理人必须获得一个连通子图。
• 通过从 (k,M)-SUM 问题的参数化归约，证明当以 p + vcn + |A| 为参数时，EF-ICFD、EF1-ICFD 和 EFX-ICFD 为 W[1]-难，即使在 vcn 为常数的图上也是如此。
• 设计一个针对 φ-ICFD（φ ∈ {EF, EF1, EFX, PROP}）的指数级核，参数化为 vcn + val + p，表明实例可被约化为大小 O(p²vcnvalval + vcn)。
• 通过从红-蓝支配集问题的多项式参数变换，证明 φ-ICFD 在相同参数化下不具有多项式压缩，除非 NP ⊆ coNP/poly。
• 为 PROP-ICFD 开发一种随机着色算法，通过使用 |A| 种颜色对顶点进行随机着色，以识别有效的连通分配，实现 FPT 时间 e^p^{O(p \log p)}，且成功概率为常数。
• 利用在均匀随机着色下，有效 PROP 分配存在的概率至少为 (1/|A|)^p 的事实，通过重复试验来放大成功概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 当以 p + |A| 为参数时，EF-ICFD 是否在星形图上（即使 vcn 为常数）仍为 W[1]-难？
• RQ2 能否从 (k,M)-SUM 问题归约 EF1-ICFD 和 EFX-ICFD，以证明在相同参数化下仍为 W[1]-难，即使在 vcn = 2 的图上？
• RQ3 尽管其他公平性准则具有困难性，PROP-ICFD 在仅以 p 为参数时是否仍具有 FPT 算法？
• RQ4 φ-ICFD（φ ∈ {PROP, EF, EF1, EFX}）是否可被核化为 vcn + val + p 的指数级大小？在该参数化下，多项式压缩是否不太可能？
• RQ5 PROP-ICFD 的行为与 PRP-ICFD 有何不同，其中公平性是相对于所分配子图而非整个图定义的？

主要发现

• 通过从 (k,M)-SUM 问题的归约，EF-ICFD 在以 p + |A| 为参数时，即使在星形图上，仍为 W[1]-难。
• EF1-ICFD 和 EFX-ICFD 在以 p + vcn + |A| 为参数时，即使在顶点覆盖数为 2 的图上，仍为 W[1]-难。
• 对于 φ ∈ {EF, EF1, EFX} 的 φ-ICFD，其核大小最多为 p²vcnvalval + vcn；而 PROP-ICFD 的核大小最多为 p²vcnvalval + vcn + p。
• 当以 vcn + val + |A| + p 为参数时，φ-ICFD 不具有多项式压缩，除非 NP ⊆ coNP/poly，该结论通过多项式参数变换得以证明。
• PROP-ICFD 在仅以 p 为参数时为 FPT，其随机算法运行时间在 e^p^{O(p \log p)} 以内，且成功概率至少为 1 − 1/e。
• 在均匀随机着色下，PROP-ICFD 的着色算法成功概率至少为 (1/|A|)^p，可通过重复试验实现成功概率放大。