[论文解读] Parameterized Complexity of Stable Roommates with Ties and Incomplete Lists Through the Lens of Graph Parameters

Robert Bredereck, Klaus Heeger+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Advanced Graph Theory Research被引用 5

一句话总结

本文利用结构图参数研究了带 ties 和不完整列表的稳定室友问题（SRTI）的参数化复杂性。证明了在树深度、树割宽度和不相交路径模数下，Max-SRTI 为 W[1]-难；同时在树割宽度下，Perfect-SRTI 和 SRTI-Existence 为固定参数可追踪。此外，提出了一个以反馈边集数为参数的 Max-SRTI 的 FPT 算法，其时间复杂度为 3^fes(G) · n^O(1)。

ABSTRACT

We continue and extend previous work on the parameterized complexity analysis of the NP-hard Stable Roommates with Ties and Incomplete Lists problem, thereby strengthening earlier results both on the side of parameterized hardness as well as on the side of fixed-parameter tractability. Other than for its famous sister problem Stable Marriage which focuses on a bipartite scenario, Stable Roommates with Incomplete Lists allows for arbitrary acceptability graphs whose edges specify the possible matchings of each two agents (agents are represented by graph vertices). Herein, incomplete lists and ties reflect the fact that in realistic application scenarios the agents cannot bring all other agents into a linear order. Among our main contributions is to show that it is W[1]-hard to compute a maximum-cardinality stable matching for acceptability graphs of bounded treedepth, bounded tree-cut width, and bounded feedback vertex number (these are each time the respective parameters). However, if we "only" ask for perfect stable matchings or the mere existence of a stable matching, then we obtain fixed-parameter tractability with respect to tree-cut width but not with respect to treedepth. On the positive side, we also provide fixed-parameter tractability results for the parameter feedback edge set number.

研究动机与目标

• 通过结构图参数分析带 ties 和不完整列表的 SRTI 的参数化复杂性。
• 确定不同 SRTI 变体在固定参数可追踪性与 W[1]-难性之间的分界。
• 将先前针对树宽和点覆盖的工作扩展到更强的图参数，如树深度、树割宽度和反馈边集。
• 为 SRTI 的参数化复杂性图景提供全面的描绘。
• 建立新的 FPT 算法，并加强现有参数的难解性结果。

提出的方法

• 将 Max-SRTI 约化为在修改后的可接受性图 H_F' 上的稳定匹配问题，其树宽有界。
• 利用反馈边集 F 枚举所有可能的匹配 F' ⊆ F，并通过辅助三元环处理未匹配的顶点。
• 对于每条边 e ∈ F ∖ F'，猜测哪一端点更偏好该匹配，使用函数 f(e) ∈ e。
• 通过在可能存在阻塞对的顶点上添加三元环，构建图 H_F'，确保 H_F' 中的稳定匹配对应于原图中的稳定匹配。
• 对参数化为树宽（≤2）的 Max-SRTI 应用已知的 XP 算法，求解约化后的实例。
• 对 H_F' 使用树宽至多为 2 的树分解，以确保多项式时间可解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当以树深度、树割宽度或不相交路径模数为参数时，Max-SRTI 是否为固定参数可追踪？
• RQ2 当以树割宽度为参数时，Perfect-SRTI 或 SRTI-Existence 是否可在 FPT 时间内求解？
• RQ3 当以反馈边集数为参数时，Max-SRTI 是否为 FPT？
• RQ4 在树割宽度或反馈边集参数下，Max-SRTI 的 FPT 算法的最优时间复杂度是什么？
• RQ5 能否为 SRTI 的固定参数可追踪情形开发多项式核？

主要发现

• 当以树深度、树割宽度或不相交路径模数为参数时，Max-SRTI 为 W[1]-难。
• 当以树割宽度为参数时，Perfect-SRTI 和 SRTI-Existence 为固定参数可追踪。
• 当以反馈边集数为参数时，Max-SRTI 存在时间复杂度为 3^fes(G) · n^O(1) 的 FPT 算法。
• 约化为树宽至多为 2 的图，确保了变换后实例的多项式时间可解性。
• 通过构造辅助三元环，保证了在修改图的每个稳定匹配中，存在潜在阻塞对的顶点均被匹配。
• 时间复杂度上界 3^fes(G) · n^O(1) 在指数因子范围内是紧的，而将其改进为 2^O(fes(G)) 仍是开放问题。