[论文解读] Parameterized Complexity of Streaming Diameter and Connectivity Problems

Jelle J. Oostveen, Erik Jan van Leeuwen|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 1

一句话总结

本文研究了在流媒体模型中直径（Diameter）与连通性（Connectivity）的参数复杂度，表明大小为 $k$ 的点覆盖（vertex cover）可在邻接表（Adjacency List, AL）模型中支持常数轮次、$O(k\log n)$ 位的算法。本文证明了其他参数的强下界，提出了一种新的点覆盖 $[k]$ 流媒体内核化算法，在 $O(k^2)$ 轮内、$O(k\log n)$ 内存中生成一个 $2k$-顶点内核，并为二分图和 H-自由模体（H-free modulators）建立了紧致的下界。

ABSTRACT

We initiate the investigation of the parameterized complexity of Diameter and Connectivity in the streaming paradigm. On the positive end, we show that knowing a vertex cover of size $k$ allows for algorithms in the Adjacency List (AL) streaming model whose number of passes is constant and memory is $O(\log n)$ for any fixed $k$. Underlying these algorithms is a method to execute a breadth-first search in $O(k)$ passes and $O(k \log n)$ bits of memory. On the negative end, we show that many other parameters lead to lower bounds in the AL model, where $Ω(n/p)$ bits of memory is needed for any $p$-pass algorithm even for constant parameter values. In particular, this holds for graphs with a known modulator (deletion set) of constant size to a graph that has no induced subgraph isomorphic to a fixed graph $H$, for most $H$. For some cases, we can also show one-pass, $Ω(n \log n)$ bits of memory lower bounds. We also prove a much stronger $Ω(n^2/p)$ lower bound for Diameter on bipartite graphs. Finally, using the insights we developed into streaming parameterized graph exploration algorithms, we show a new streaming kernelization algorithm for computing a vertex cover of size $k$. This yields a kernel of $2k$ vertices (with $O(k^2)$ edges) produced as a stream in $ ext{poly}(k)$ passes and only $O(k \log n)$ bits of memory.

研究动机与目标

• 理解在流媒体模型中，直径与连通性在结构图参数下的参数复杂度。
• 确定已知小规模点覆盖或 H-自由模体是否能支持高效的流媒体算法。
• 设计一种点覆盖 $[k]$ 的流媒体内核化算法，实现低内存与轮次复杂度。
• 在 AL 与 EA 模型中，为各种图参数建立紧致的下界。

提出的方法

• 采用邻接表（Adjacency List, AL）流媒体模型，其中边按顶点分组并从两端被访问，支持高效模拟广度优先搜索（BFS）。
• 设计一种 BFS 算法，利用大小为 $k$ 的点覆盖作为参数，在 $O(k)$ 轮内、$O(k\log n)$ 位内存中运行。
• 应用改进版的 Hopcroft-Karp 算法与交替路径搜索，通过 $O(k)$ 轮与 $O(k\log n)$ 内存在二分图中计算最小点覆盖。
• 采用两阶段方法：首先，利用已知的模体将输入图转换为稀疏图类；其次，通过最小点覆盖计算实现内核化。
• 利用 H-自由模体的已知结果，并将其应用于流媒体环境，推导出正向与负向结果。
• 使用通信复杂度技术，包括不相交问题与排列问题，证明在 AL 与 EA 模型中的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当已知大小为 $k$ 的点覆盖时，直径与连通性是否能在流媒体模型中被高效求解？
• RQ2 计算到 $\ell$-团的距离（$\ell$-clique）的流媒体复杂度是多少？该参数是点覆盖 $[k]$ 的对偶参数。
• RQ3 在 AL 模型中，是否存在针对区间图的直径与连通性问题的高效流媒体算法？
• RQ4 在 AL 模型中，若允许孤立顶点，是否可用 $O(\log n)$ 内存求解分裂图（split graphs）上的连通性问题？
• RQ5 是否存在一种流媒体算法，用于点覆盖 $[k]$，其轮次数为 $O(\text{poly}(k))$，内存使用为 $O(\text{poly}(k, \log n))$？

主要发现

• 大小为 $k$ 的点覆盖可在 AL 模型中支持常数轮次、$O(k\log n)$ 位的直径与连通性算法。
• 本文提出一种新的流媒体内核化算法，可在 $O(k^2)$ 轮与 $O(k\log n)$ 内存中，为点覆盖 $[k]$ 生成一个 $2k$-顶点内核。
• 在边到达（Edge Arrival, EA）模型中，相同的内核化过程需要 $O(k^3)$ 轮，表明弱模型带来了显著的代价。
• 在 AL 模型中，证明了二分图上直径问题的 $\Omega(n^2/p)$ 下界，表明对大 $p$ 值存在强不可解性。
• 对于大多数大小为常数的 H-自由模体，AL 模型中即使 $k$ 为常数，仍需 $\Omega(n/p)$ 内存，表明点覆盖是前沿参数。
• 在稀疏图上，连通性与直径的一轮算法需要 $\Omega(n\log n)$ 位内存，且该下界在许多常数参数值情况下依然成立。