[论文解读] Parameterized discrete uniformization theorems and curvature flows for polyhedral surfaces, I

Xu Xu|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 44被引用 4

一句话总结

本文为多面体曲面引入了一种参数化的离散曲率（$α$-曲率），并建立了推广先前结果的离散统一化定理。证明了在顶点缩放下$α$-曲率的全局刚性，并展示了带手术的组合$α$-Yamabe流与$α$-Calabi流收敛于常$α$-曲率度量，从而证实了Luo的广义猜想。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a parameterized discrete curvature ($α$-curvature) for piecewise linear metrics on polyhedral surfaces, which is a generalization of the classical discrete curvature. A discrete uniformization theorem is established for the parameterized discrete curvature, which generalizes the discrete uniformization theorem obtained by Gu-Luo-Sun-Wu. We also prove the global rigidity of parameterized discrete curvature with respect to the discrete conformal factors, which confirms a generalized Luo conjecture on rigidity of discrete curvatures. We further introduce a parameterized discrete Yamabe flow for piecewise linear metrics on surfaces. To handle the possible singularities along the flow, we do surgery on the flow by flipping. Then we prove that the flow with surgery converges to a piecewise linear metric with constant discrete $α$-curvature, which confirms another generalized Luo conjecture on convergence of discrete Yamabe flow with surgery. We also introduce a parameterized discrete Calabi flow and prove the convergence of the flow with surgery, which generalizes the convergence proved by Zhu and the author.

研究动机与目标

• 将经典离散曲率推广为在三角剖分曲面上的分段线性度量的参数化$α$-曲率。
• 通过变分原理建立$α$-曲率的离散统一化定理。
• 证明$α$-曲率在顶点缩放下具有全局刚性，从而证实广义的Luo猜想。
• 定义并分析带手术的组合$α$-Yamabe流与$α$-Calabi流，以实现向常$α$-曲率度量的收敛。
• 将离散曲率流的收敛结果从$α=0$的情形推广至任意实数$α$，推广先前关于Calabi流的工作。

提出的方法

• 将$α$-曲率定义为$R_{\alpha,i} = K_i / w_i^\alpha$，其中$K_i$为经典组合曲率，$w_i$为顶点缩放因子。
• 定义允许空间$\Omega^\mathcal{T}(d)$，以确保在顶点缩放下三角不等式得以保持。
• 在对数共形因子空间$\mathcal{U}^\mathcal{T}(d)$上构造一个凸泛函$W_\alpha(u)$，在条件$\alpha\chi(S) \leq 0$下该泛函是正规的。
• 通过$du_i/dt = (\Delta_\alpha \mathbf{F}_\alpha)_i$定义组合$α$-Yamabe流，辅以手术以处理退化三角形引起的奇点。
• 通过$du_i/dt = (\Delta_\alpha \mathbf{F}_\alpha)_i$定义组合$α$-Calabi流，该流在流过程中保持总和$\sum w_i^\alpha$不变。
• 利用李雅普诺夫函数技巧与$W_\alpha(u)$的凸性，证明了两种带手术的流均存在全局解并收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为多面体曲面上的广义$α$-曲率建立离散统一化定理？
• RQ2 如Luo所猜想，$α$-曲率在顶点缩放下是否具有全局刚性？
• RQ3 带手术的组合$α$-Yamabe流是否收敛于常$α$-曲率度量？
• RQ4 当$α\chi(S) \leq 0$时，带手术的组合$α$-Calabi流是否收敛于常$α$-曲率度量？
• RQ5 能否将$α=0$情形下的收敛结果推广至任意实数$α$？

主要发现

• 建立了$α$-曲率的离散统一化定理，推广了Gu-Luo-Sun-Wu在$α=0$时的结果。
• 证明了$α$-曲率在顶点缩放下具有全局刚性，从而证实了Luo猜想的广义版本。
• 带手术的组合$α$-Yamabe流全局存在且收敛于具有常$α$-曲率的分段线性度量。
• 当$α\chi(S) \leq 0$时，带手术的组合$α$-Calabi流全局存在且收敛于常$α$-曲率度量，推广了文献[70]的结果。
• 证明了泛函$W_\alpha(u)$在约束集$\sum w_i^\alpha = N$上是严格凸且正规的，从而保证了流的收敛性。
• 通过Lyapunov泛函$W_\alpha(u(t))$的衰减性证明了两种流的收敛性，该泛函单调递减，并在目标常$α$-曲率度量处取得唯一最小值。