[论文解读] Parameterized Inapproximability for Steiner Orientation by Gap Amplification

Michał Włodarczyk|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 38被引用 3

一句话总结

该论文通过一种新颖的基于哈希的间隙放大技术，在参数复杂性领域中建立了 k-Steiner定向问题的强不可逼近性结果。在标准复杂性假设下，证明了不存在 FPT 算法能获得优于 (log k)^o(1) 的近似因子，也不存在多项式时间算法能优于 (log n)^o(1) 的近似因子，从而在自然近似任务中首次确立了 W[1]-完全性。

ABSTRACT

In the $k$-Steiner Orientation problem, we are given a mixed graph, that is, with both directed and undirected edges, and a set of $k$ terminal pairs. The goal is to find an orientation of the undirected edges that maximizes the number of terminal pairs for which there is a path from the source to the sink. The problem is known to be W[1]-hard when parameterized by k and hard to approximate up to some constant for FPT algorithms assuming Gap-ETH. On the other hand, no approximation factor better than $O(k)$ is known. We show that $k$-Steiner Orientation is unlikely to admit an approximation algorithm with any constant factor, even within FPT running time. To obtain this result, we construct a self-reduction via a hashing-based gap amplification technique, which turns out useful even outside of the FPT paradigm. Precisely, we rule out any approximation factor of the form $(\log k)^{o(1)}$ for FPT algorithms (assuming FPT $ e$ W[1]) and $(\log n)^{o(1)}$ for~purely polynomial-time algorithms (assuming that the class W[1] does not admit randomized FPT algorithms). Moreover, we prove $k$-Steiner Orientation to belong to W[1], which entails W[1]-completeness of $(\log k)^{o(1)}$-approximation for $k$-Steiner Orientation This provides an example of a natural approximation task that is complete in a parameterized complexity class. Finally, we apply our technique to the maximization version of directed multicut - Max $(k,p)$-Directed Multicut - where we are given a directed graph, $k$ terminals pairs, and a budget $p$. The goal is to maximize the number of separated terminal pairs by removing $p$ edges. We present a simple proof that the problem admits no FPT approximation with factor $O(k^{\frac 1 2 - ε})$ (assuming FPT $ e$ W[1]) and no polynomial-time approximation with ratio $O(|E(G)|^{\frac 1 2 - ε})$ (assuming NP $ ot\subseteq$ co-RP).

研究动机与目标

• 为填补已知 O(k) 近似上界与 k-Steiner定向问题缺乏常数因子 FPT 近似之间的差距。
• 在 FPT ≠ W[1] 和 NP ⊈ co-RP 的假设下，为 k-Steiner定向问题建立强不可逼近性结果。
• 证明该问题在 (log k)^o(1)-近似意义下为 W[1]-完全，使其成为首个在 W[1] 中完全的自然近似问题。
• 将该技术扩展至有向多割问题的最优化版本，证明类似的不可逼近性界。

提出的方法

• 引入一种基于哈希的间隙放大自归约新方法，利用参数化归约中允许的指数级参数膨胀。
• 通过规范路径族构造建模混合图中的路径系统，实现对冲突的可控检测。
• 应用切尔诺夫不等式来论证路径支撑的随机采样，确保以高概率实现间隙放大。
• 通过利用路径对的独立集和无冲突边规则，构建从 k-Steiner定向到 k-Clique 的参数化归约。
• 在有向无环图中采用绕行技术，通过迭代缩短解的长度，利用路径长度的矛盾证明 W[1]-完全性。
• 将相同框架应用于 Max (k,p)-Directed Multicut，通过类似的间隙放大和采样论证推导出边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 FPT ≠ W[1] 的假设下，k-Steiner定向问题是否可能具有常数因子 FPT 近似？
• RQ2 是否存在一个 FPT 的 (log k)^o(1)-近似算法，或者这是否已被排除？
• RQ3 该间隙放大技术能否推广到 FPT 之外，以在多项式时间内获得新的不可逼近性结果？
• RQ4 该方法是否能为其他参数化问题（如有向多割）提供紧致的不可逼近性边界？
• RQ5 F(k)-Gap k-Clique 是否在 F(k) = o(k) 时为 W[1]-难，类似地，k-Dominating Set 是否也成立？

主要发现

• 在 FPT ≠ W[1] 的假设下，k-Steiner定向问题不存在因子为 (log k)^o(1) 的 FPT 近似。
• 该问题在 (log k)^o(1)-近似意义下为 W[1]-完全，首次确立了自然近似任务在 W[1] 中的完全性。
• 在 NP ⊈ co-RP 的假设下，不存在多项式时间算法能为 k-Steiner定向问题实现优于 (log n)^o(1) 的近似因子。
• 相同技术证明了 Max (k,p)-Directed Multicut 在 FPT ≠ W[1] 下不存在因子为 O(k^{1/2 - ε}) 的 FPT 近似。
• 对于 Max (k,p)-Directed Multicut，在 NP ⊈ co-RP 的假设下，不存在多项式时间算法能实现 O(|E(G)|^{1/2 - ε}) 的近似比。
• 基于哈希的间隙放大技术实现了参数中具有指数级膨胀的自归约，从而绕过了参数化设置中 PCP 的限制。