[论文解读] Parameterized Integer Quadratic Programming: Variables and Coefficients

Daniel Lokshtanov|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 21被引用 22

一句话总结

本文提出了一种针对整数二次规划（IQP）的固定参数可满足性（FPT）算法，参数为变量数 $ n $ 和目标函数与约束矩阵中最大绝对系数值 $ \alpha $。该算法首次实现了以顶点覆盖大小为参数的最优线性排列问题的FPT解法，解决了参数复杂性领域长期悬而未决的开放问题。

ABSTRACT

In the Integer Quadratic Programming problem input is an n*n integer matrix Q, an m*n integer matrix A and an m-dimensional integer vector b. The task is to find a vector x in Z^n, minimizing x^TQx, subject to Ax <= b. We give a fixed parameter tractable algorithm for Integer Quadratic Programming parameterized by n+a. Here a is the largest absolute value of an entry of Q and A. As an application of our main result we show that Optimal Linear Arrangement is fixed parameter tractable parameterized by the size of the smallest vertex cover of the input graph. This resolves an open problem from the recent monograph by Downey and Fellows.

研究动机与目标

• 建立整数二次规划（IQP）在参数 $ n + \alpha $ 下的固定参数可满足性，其中 $ n $ 为变量数，$ \alpha $ 为 $ Q $ 和 $ A $ 中的最大绝对系数值。
• 通过证明当以最小顶点覆盖大小为参数时，最优线性排列问题为FPT，从而解决其参数复杂性问题。
• 将FPT技术的应用范围从线性和凸优化扩展至非凸、二次整数规划问题。
• 在参数复杂性领域为非线性和非凸数学规划开辟新的研究方向。

提出的方法

• 通过变量 $ x_S^i $ 建立最优线性排列问题的整数二次规划（IQP）模型，其中 $ x_S^i $ 编码了顶点类型相对于顶点覆盖 $ C $ 的位置关系。
• 将代价函数 $ \text{val}(\sigma, G) $ 建模为变量 $ x_S^i $ 的二次函数，其系数为有理数，绝对值不超过 $ \pm 2^k k^2 $，其中 $ k $ 为顶点覆盖大小。
• 通过将目标函数乘以2，将IQP转换为具有整数系数的形式，保持最优解不变，同时使主FPT算法可应用于该问题。
• 利用顶点覆盖的结构与超齐次解的性质，将变量数界为 $ 2^k (k+1) $，约束数界为 $ 2^k (k+2) $。
• 应用一种新颖的IQP FPT算法，其时间复杂度为 $ f(n, \alpha) L^{O(1)} $，其中 $ f $ 仅依赖于 $ n $ 和 $ \alpha $，$ L $ 为输入规模。
• 通过有界系数参数化避免暴力枚举，即使右侧常数项 $ b $ 较大时亦成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 当以变量数 $ n $ 和最大系数 $ \alpha $ 为参数时，整数二次规划是否为固定参数可满足的？
• RQ2 当以最小顶点覆盖大小为参数时，最优线性排列问题是否可在FPT时间内求解？
• RQ3 是否存在一种参数化IQP算法，即使 $ b $ 较大，也能允许系数大小 $ \alpha $ 的任意依赖关系？
• RQ4 FPT技术能否扩展至线性与凸情况之外的非凸、二次整数规划？
• RQ5 高阶多项式整数规划的参数复杂性如何，特别是对于有界次数的目标函数与约束？

主要发现

• 当以 $ n + \alpha $ 为参数时，整数二次规划是固定参数可满足的，时间复杂度为 $ f(n, \alpha) L^{O(1)} $，其中 $ f $ 仅依赖于 $ n $ 和 $ \alpha $。
• 当以最小顶点覆盖大小为参数时，最优线性排列问题为FPT，解决了Downey与Fellows专著中长期悬而未决的开放问题。
• 最优线性排列的代价函数可表示为 $ 2^k (k+1) $ 个变量的二次函数，其系数位于 $ [-2^k k^2, 2^k k^2] $ 范围内，且此类IQP可在多项式时间内构造。
• 将IQP目标函数乘以2后，可得到等价的整数系数IQP，从而可应用主FPT算法求解有界系数的IQP问题。
• 通过利用系数有界性与顶点覆盖带来的结构约束，即使 $ b $ 较大，算法仍可避免暴力枚举。
• 本工作为非凸、非线性整数规划中的FPT算法奠定了基础，开启了参数复杂性领域的新研究方向。