[论文解读] Parameterized Lower Bounds for Problems in P via Fine-Grained Cross-Compositions

Klaus Heeger, André Nichterlein+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Algorithms and Data Compression被引用 1

一句话总结

本文提出了一种通用框架，利用细粒度交叉组合来有条件地排除若干多项式时间可解问题的高效参数化算法。在细粒度复杂性假设下，证明了运行时间为 O(ℓγ/(γ−1)−ε + nγ)（1 < γ < 2）和 O(ℓ2γ/(γ−1)−ε + nγ)（1 < γ < 3）的算法不太可能存在，表明参数 ℓ 与输入大小 n 之间的平凡权衡通常是最优的。

ABSTRACT

We provide a general framework to exclude parameterized running times of the form $O(\ell^β+ n^γ)$ for problems that have polynomial running time lower bounds under hypotheses from fine-grained complexity. Our framework is based on cross-compositions from parameterized complexity. We (conditionally) exclude running times of the form $O(\ell^{γ/{(γ-1)} - ε} + n^γ)$ for any $1&lt;γ&lt;2$ and $ε&gt;0$ for the following problems: - Longest Common Subsequence: Given two length-$n$ strings and $\ell\in\mathbb{N}$, is there a common subsequence of length $\ell$? - Discrete Fréchet Distance: Given two lists of $n$ points each and $k\in \mathbb{N}$, is the Fréchet distance of the lists at most $k$? Here $\ell$ is the maximum number of points which one list is ahead of the other list in an optimum traversal. Moreover, we exclude running times $O(\ell^{{2γ}/{(γ-1)}-ε} + n^γ)$ for any $1&lt;γ&lt;3$ and $ε&gt;0$ for: - Negative Triangle: Given an edge-weighted graph with $n$ vertices, is there a triangle whose sum of edge-weights is negative? Here $\ell$ is the order of a maximum connected component. - Triangle Collection: Given a vertex-colored graph with $n$ vertices, is there for each triple of colors a triangle whose vertices have these three colors? Here $\ell$ is the order of a maximum connected component. - 2nd Shortest Path: Given an $n$-vertex edge-weighted directed graph, two vertices $s$ and $t$, and $k \in \mathbb{N}$, has the second longest $s$-$t$-path length at most $k$? Here $\ell$ is the directed feedback vertex set. Except for 2nd Shortest Path all these running time bounds are tight, that is, algorithms with running time $O(\ell^{γ/{(γ-1)}} + n^γ)$ for any $1 &lt; γ&lt; 2$ and $O(\ell^{{2γ}/{(γ-1)}} + n^γ)$ for any $1 &lt; γ&lt; 3$, respectively, are known.

研究动机与目标

• 建立 P 中参数化算法的条件下界，其运行时间为 O(ℓβ + nγ) 的形式。
• 将细粒度复杂性技术从 NP-难问题扩展到多项式时间可解问题。
• 表明在常见复杂性假设下，LCS 和 Negative Triangle 等问题的已知算法可能已是渐近最优的。
• 证明针对 LCS 和 Negative Triangle 等问题，基于内核化的 O(ℓβ + nγ) 时间算法极不可能存在。

提出的方法

• 作者使用参数化复杂性中的交叉组合，将 NP-难问题的困难性转移到 P 中的问题上。
• 在 SETH 和 3SUM 等假设下应用细粒度归约，推导出条件下的下界。
• 该框架针对已知多项式时间下界的問題，并引入参数 ℓ 以捕捉其结构复杂性。
• 通过在多个输入上组合实例，推导出运行时间中 ℓ 的指数的下界。
• 该方法建立了参数 ℓ 与输入大小 n 之间的权衡，证明当 1 < γ < 2 时，β = γ/(γ−1) 是紧致的。
• 该方法可推广至具有更高阶依赖关系的问题，得出当 1 < γ < 3 时，β = 2γ/(γ−1)。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否在条件假设下排除 P 中问题的参数化算法，其运行时间为 O(ℓβ + nγ)，其中 β 和 γ 取特定值？
• RQ2 在细粒度复杂性假设下，LCS 和 Discrete Fréchet Distance 等问题的已知算法是否渐近最优？
• RQ3 P 中问题的参数 ℓ 与输入大小 n 之间最紧的可能权衡是什么？
• RQ4 参数化复杂性中的交叉组合能否用于推导多项式时间可解问题的下界？
• RQ5 针对 LCS 和 Negative Triangle 等问题，将输入缩减到 O(ℓ) 大小的内核化是否极不可能？

主要发现

• 本文证明，在 SETH 假设下，Longest Common (Increasing) Subsequence 无法在 O(ℓγ/(γ−1)−ε + nγ) 时间内求解，其中任意 1 < γ < 2 且 ε > 0。
• 对于 Discrete Fréchet Distance 和 Planar Motion Planning，同样的运行时间界限在条件假设下也被排除。
• 在 SETH 假设下，Negative Triangle 和 Triangle Collection 无法在 O(ℓ2γ/(γ−1)−ε + nγ) 时间内求解，其中任意 1 < γ < 3 且 ε > 0。
• 运行时间界限是紧致的，因为针对相应问题，已知存在达到 O(ℓγ/(γ−1) + nγ) 和 O(ℓ2γ/(γ−1) + nγ) 的算法。
• 此类问题的内核化（将输入缩减到 O(ℓ) 大小）极不可能，因为这样的内核会暗示存在比当前认为可能更快的算法。
• 该框架提供了一种通用方法，可将 NP-难问题的细粒度下界转移至 P 中的问题，从而扩展了条件复杂性结果的适用范围。