[论文解读] Parameterized Norm and Parameterized Fixed-Point Theorem by Using Fuzzy Soft Set Theory

Azadeh Zahedi Khameneh, Adem Kılıçman+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2013

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文引入了参数化模糊软范数，并在模糊软赋范空间中建立了不动点定理，将经典范数与不动点理论扩展至处理模糊软集合中的不确定性和参数化问题。论文提出了模糊软实数，定义了模糊软范数，并证明了在这些空间中，压缩映射下的不动点存在且唯一。

ABSTRACT

From last decade, when Molodtsov introduced the theory of soft set as a new approach to deal with uncertainties, until now this theory was considered sharply by a fair number of researchers. Combination of fuzzy set theory and soft set theory, called fuzzy soft set theory, by Maji et.al opened a new way for researchers whose frame work of study is soft sets and fuzzy sets. Although published papers in this area have considered both application and theoretical aspects of fuzzy soft set theory, the concept of norm for a fuzzy soft set has not been studied yet. We begin this paper by introducing fuzzy soft real numbers, which are needed for study fuzzy soft norm, and then continued by considering fuzzy soft norm. Fixed-point theorem is also investigated for fuzzy soft normed spaces.

研究动机与目标

• 为解决模糊软集合框架中缺乏范数与不动点理论的问题，特别是处理不精确且参数化的数据。
• 形式化模糊软实数的概念，作为定义模糊软范数的基础。
• 通过参数化不确定性，将经典范数与不动点理论扩展至模糊软赋范空间。
• 在完备模糊软赋范空间中，为模糊软压缩映射建立参数化不动点定理。
• 为涉及参数的现实世界不确定性建模（如环境科学或经济学）提供理论框架。

提出的方法

• 在模糊软集合理论中，将模糊软实数引入为实数的推广，支持在参数化条件下的算术运算。
• 使用参数化函数 ||·||_e,α 定义模糊软范数，基于参数 e 和 α 截面水平，衡量模糊软元素之间的接近程度。
• 建立经典范数与模糊软范数之间的关系，表明在参数化条件下，模糊软范数可推广经典范数。
• 引入模糊软序列，并利用模糊软范数定义模糊软柯西序列与收敛序列。
• 将巴拿赫不动点定理框架应用于模糊软赋范空间，证明在压缩映射下迭代序列的收敛性。
• 通过压缩条件 ||T(x̃_E) ⊖ T(ỹ_E)||_e,α ≤ k||x̃_E ⊖ ỹ_Ẽ||_e,α（其中 0 ≤ k < 1）证明在完备模糊软赋范空间中不动点的存在性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在参数化不确定性下为模糊软集合定义范数，以衡量元素之间的接近程度？
• RQ2 模糊软实数的正式定义与代数结构是什么？它们在模糊软框架中如何支持算术运算？
• RQ3 模糊软范数与经典范数之间有何关系？在参数化条件下，它如何推广经典范数？
• RQ4 能否在模糊软赋范空间中建立类似于经典巴拿赫不动点定理的不动点定理？
• RQ5 在完备模糊软赋范空间中，何种条件可确保模糊软压缩映射的不动点存在且唯一？

主要发现

• 论文成功定义了模糊软实数并建立了其代数性质，使模糊软框架中的算术运算成为可能。
• 引入了一种基于参数 e 和 α 截面水平的新模糊软范数，可在不确定性条件下测量模糊软元素之间的距离。
• 模糊软范数推广了经典范数，当去除参数化时，经典范数即为其特例。
• 定义了模糊软柯西序列与收敛序列，并证明在模糊软巴拿赫空间中，每个柯西序列均收敛。
• 建立了参数化不动点定理：在完备模糊软赋范空间中，每个模糊软压缩映射均存在唯一不动点。
• 通过证明任意两个不动点之间的距离在模糊软范数下必为零，从而证明了不动点的唯一性，表明它们完全相同。