[论文解读] Parameterized summation relations for the Stieltjes constants

Mark W. Coffey|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2010

Mathematical functions and polynomials参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文通过黎曼ζ函数的积分表示和梅林变换，推导出斯蒂尔杰斯常数 γₖ(a) 及相关函数 Aₖ(q) 的多参数求和恒等式。主要贡献在于提出一组精确关系式（如命题1和命题2），将有理数自变量上斯蒂尔杰斯常数的和与对数函数、多对psi函数联系起来，并应用于伯努利多项式与多对psi函数的互反律。

ABSTRACT

The Stieltjes constants $γ_k(a)$ appear in the regular part of the Laurent expansion of the Hurwitz zeta function about its only polar singularity at $s=1$. We present multi-parameter summation relations for these constants that result from identities for the Hurwitz zeta function. We also present multi-parameter summation relations for functions $A_k(x)$ that may be expressed as sums over the Stieltjes constants. Integral representations, especially including Mellin transforms, play an important role. As a byproduct, reciprocity and other summatory relations for polygamma functions and Bernoulli polynomials may be obtained.

研究动机与目标

• 通过Hurwitz zeta函数的函数恒等式，建立斯蒂尔杰斯常数γₖ(a)的新多参数求和关系。
• 推导出基于积分表示和梅林变换的恒等式，从而获得有理数自变量上斯蒂尔杰斯常数和的精确关系。
• 将已知的互反与求和关系推广至包含参数p、q、b和N的广义形式。
• 通过导出的推论，将这些结果与多对psi函数和伯努利多项式等已知特殊函数联系起来。
• 为评估涉及Hurwitz zeta函数的积分提供Aₖ(q)函数和的系统化框架。

提出的方法

• 利用引理1，通过参数交换（p, q, b）将有理数自变量上Hurwitz zeta函数的和与变换后的和关联起来。
• 应用解析延拓，将适用于Re(s) > 1的恒等式推广至整个复平面。
• 利用与有理生成函数相关的zeta函数的梅林变换表示，推导函数恒等式。
• 对zeta函数恒等式关于s求导，并在s = 1 − k处求值，以推导Aₖ(q)和Bₖ的关系。
• 对形如f(T) = p(T)/∏(1 − Tⁿⁱ)的有理函数f(T)，通过积分与级数表达Z_f(s)，从而获得求和恒等式。
• 应用关于伯努利数和多对psi函数的已知结果，从主定理推导出推论。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地从Hurwitz zeta函数的函数方程推导出斯蒂尔杰斯常数γₖ(a)的多参数求和恒等式？
• RQ2 哪些精确关系式将有理数自变量上γₖ(a)的和与对数函数及多对psi函数联系起来？
• RQ3 与有理生成函数相关的zeta函数的梅林变换表示如何产生新的求和恒等式？
• RQ4 能否作为这些恒等式的推论，推导出伯努利多项式与多对psi函数的互反型关系？
• RQ5 这些恒等式对函数Aₖ(q) = k ∂/∂z ζ(z,q)|_{z=1−k}在积分计算中的意义是什么？

主要发现

• 命题1建立了一个多参数求和恒等式：∑_{r=1}^q γₖ(pr/q − b) = q(−1)^k ln^{k+1}(q/p)/(k+1) + (q/p)∑_{ℓ=0}^{p−1}∑_{j=0}^k (−1)^j (k choose j) ln^j(q/p) γ_{k−j}[1 + (ℓ−b)q/p]。
• 命题2给出了涉及γₘ和对数项的关系式：(p−1)γₘ + ln^{m+1}p/(m+1) − ∑_{k=0}^{m−1} (m choose k) ln^{m−k}p γₖ = (1−p)ln^{m+1}p^{N+1}/(m+1) + p^{−N} ∑_{k=0}^m (m choose k) ln^{m−k}p^{N+1} ∑_{(j,p)=1} γₖ(j/p^{N+1})。
• 推论1为digamma函数提供了互反恒等式：ln q + (1/q)∑_{r=0}^{q−1} ψ(pr/q − b) = ln p + (1/p)∑_{ℓ=0}^{p−1} ψ[(ℓ−b)q/p]。
• 推论2给出了多对psi函数的对称性：(1/q)∑_{r=0}^{q−1} ψ^{(n−1)}(pr/q − b) = (1/p)(q/p)^{n−1} ∑_{ℓ=0}^{p−1} ψ^{(n−1)}[(ℓ−b)q/p]。
• 推论3建立了伯努利多项式的求和恒等式：∑_{r=1}^q B_m(pr/q − b) = (q/p)^{1−m} ∑_{ℓ=0}^{p−1} B_m[1 + (ℓ−b)q/p]。
• 命题5给出了Aₖ(q)的关系式：(1−p^{k−1})Aₖ(1) − (−1)^k (ln p) Bₖ[N(1−p^{k−1})+1] = p^{(N+1)(k−1)} ∑_{(j,p)=1} Aₖ(j/p^{N+1})。