[论文解读] Parameters of two classes of LCD BCH codes

Shuxing Li, Chengju Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 25被引用 18

一句话总结

本文研究了有限域上两类线性码与互补对偶（LCD）BCH码，重点关注其维度和最小距离。通过分析 q-循环陪集并利用 BCH 界，作者推导出特定参数范围内的精确维度和最小距离，包括与文献中已知界限匹配或超越的最优码。

ABSTRACT

Historically, LCD cyclic codes were referred to as reversible cyclic codes, which had application in data storage. Due to a newly discovered application in cryptography, there has been renewed interest on LCD codes. In this paper, we explore two special families of LCD cyclic codes, which are both BCH codes. The dimensions and the minimum distances of these LCD BCH codes are investigated. As a byproduct, the parameters of some primitive BCH codes are also obtained.

研究动机与目标

• 确定模 n = q^m - 1 的 q-循环陪集的陪集领袖及其大小，其中 1 ≤ j ≤ (q-1)q^{m-1}。
• 确定特定设计距离下两类 LCD BCH 码的维度，特别是当 δ = uq^{m-1} + 1（q 为奇数）或 δ = uq^{m-1}/2 + 1（q 为偶数）时。
• 在各种参数约束下，建立形如 C(q,n,2δ,n−δ+1) 的 LCD BCH 码的确切维度和最小距离，包括小 δ 及特定 m 和 q 值的情况。
• 推导 δ = q^λ 且 m/2 ≤ λ ≤ m−1 时维度的下界和上界，并通过 BCH 界和陪集领袖分析确定最小距离。
• 识别构造的 LCD BCH 码在何种情况下实现最优参数，与现有数据库中最佳已知线性码的参数相匹配或超越。

提出的方法

• 作者分析模 n = q^m - 1 的 q-循环陪集，以确定陪集领袖和大小，这些是计算码维度的关键。
• 他们利用 BCH 界推导出 LCD BCH 码最小距离的下界。
• 在特定参数范围内，如 δ = uq^{m-1} + 1（q 为奇数）或 δ = uq^{m-1}/2 + 1（q 为偶数），通过显式计数根和循环陪集结构计算维度。
• 当满足可除性条件（如 3|n 或 4|n）时，论文应用推论 37 确定精确的最小距离，此时最小距离恰好等于 BCH 界。
• 通过已知的最佳线性码表（如 Grassl 的数据库和 [13]）验证理论结果，以确认所构造码的最优性。
• 作者利用 LCD 码与可逆循环码之间的等价性，通过生成多项式的自反性性质，确保 LCD 结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 1 ≤ j ≤ (q-1)q^{m-1} 的索引 j，模 n = q^m - 1 的 q-循环陪集的陪集领袖和大小是什么？
• RQ2 当 δ = uq^{m-1} + 1（q 为奇数）或 δ = uq^{m-1}/2 + 1（q 为偶数），且 1 ≤ u ≤ q−1 时，LCD BCH 码 C(q,n,2δ,n−δ+1) 的确切维度是什么？
• RQ3 在哪些 δ 值及参数 q、m 下，码 C(q,n,2δ,n−δ+1) 的最小距离恰好等于 2δ？
• RQ4 当 δ = q^λ 且 m/2 ≤ λ ≤ m−1 时，是否可以确定 LCD BCH 码的维度和最小距离？可建立哪些界限？
• RQ5 在何种条件下，所构造的 LCD BCH 码与现有数据库中最佳已知线性码的参数相匹配或超越？

主要发现

• 当 q 为奇数且 m ≥ 2 时，码 C(q,n,4,n−1) 的参数为 [q^m−1, q^m−2−2m, 4]，具有精确的维度和最小距离。
• 当 q=2 且 m≥4 时，码 C(2,n,6,n−2) 的参数为 [2^m−1, 2^m−2−2m, 6]，达到设计距离。
• 当 q^m ≡ 1 (mod 3) 且 m≥4 时，码 C(q,n,6,n−2) 的参数为 [q^m−1, q^m−2−4m, 6]，其维度依赖于 q 和 m。
• 当 q=3 且 m≥3 时，码 C(3,n,8,n−3) 的维度为 q^m−2−4m，且当 m 为偶数时最小距离 d=8，当 m 为奇数时 d≥8。
• 当 q=3，m=3，且 δ=4 时，码 C(3,26,8,23) 的参数为 [26,13,8]，与该长度和维度下最佳已知的三元线性码一致。
• 本文确认，若干构造的码为最优码，因其与 Grassl 数据库和 [13] 中列出的最佳已知参数相匹配或超越。