[论文解读] Parametric Dynamic Mode Decomposition for Reduced Order Modeling

Quincy Huhn, Mauricio Tano+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用 5

一句话总结

本文提出两种新型非侵入式模型降阶方法——rEPI与rKOI，基于参数化动态模态分解（DMD）以处理多参数问题。通过插值Koopman特征对或算子分量而非堆叠快照，该方法在参数数量上实现高效扩展，跨时间和物理场的L₂误差低于1%，在准确性和计算速度上均优于现有最优的堆叠DMD方法。

ABSTRACT

Dynamic Mode Decomposition (DMD) is a model-order reduction approach, whereby spatial modes of fixed temporal frequencies are extracted from numerical or experimental data sets. The DMD low-rank or reduced operator is typically obtained by singular value decomposition of the temporal data sets. For parameter-dependent models, as found in many multi-query applications such as uncertainty quantification or design optimization, the only parametric DMD technique developed was a stacked approach, with data sets at multiples parameter values were aggregated together, increasing the computational work needed to devise low-rank dynamical reduced-order models. In this paper, we present two novel approach to carry out parametric DMD: one based on the interpolation of the reduced-order DMD eigenpair and the other based on the interpolation of the reduced DMD (Koopman) operator. Numerical results are presented for diffusion-dominated nonlinear dynamical problems, including a multiphysics radiative transfer example. All three parametric DMD approaches are compared.

研究动机与目标

• 解决现有参数化DMD方法在多查询应用中随参数数量增加而扩展性受限的问题。
• 克服Sayadi等人提出的堆叠快照DMD方法中参数无关频率的限制。
• 开发基于插值的DMD-ROM方法，使计算复杂度随训练参数数量线性增长，而非随参数组合数量指数增长。
• 通过利用Koopman算子分量或特征对的平滑性，提升参数化多物理场问题的精度与计算效率。
• 在保持高精度与低计算成本的前提下，实现多物理场系统中单物理场的鲁棒重建。

提出的方法

• 提出rKOI（降阶Koopman算子插值）方法，通过线性插值在参数值之间插值降阶Koopman算子矩阵的各个分量。
• 引入rEPI（降阶特征对插值）方法，通过线性插值在参数集之间插值Koopman特征值与特征向量。
• 使用本征正交分解（POD）从高保真仿真快照中提取空间模态，随后应用DMD计算Koopman算子。
• 对降阶Koopman算子或其特征对应用线性插值，构建可预测新参数值下系统演化的参数化ROM。
• 将所提方法与堆叠快照DMD方法进行比较，后者将不同参数下的时间序列快照合并为单一扩展矩阵。
• 从POD模态投影数据中使用标准DMD计算Koopman算子，随后应用参数化插值以推广算子至参数空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过避免堆叠快照方法中训练数据规模随参数数量呈指数增长的问题，使参数化DMD在多参数问题中实现可扩展性？
• RQ2 与堆叠快照方法相比，插值Koopman算子分量（rKOI）或特征对（rEPI）是否能带来更高的精度与计算效率？
• RQ3 在捕捉多物理场系统中的瞬态动力学与参数依赖性方面，rKOI与rEPI方法相较于现有最优方法表现如何？
• RQ4 对Koopman算子分量或特征对的平滑性假设，对最终参数化ROM精度有何影响？
• RQ5 rKOI方法能否在多物理场问题中实现高精度的单物理场重建，同时保持低计算成本？

主要发现

• rKOI方法在所有测试问题中均实现了低于1%的相对L₂误差，表明其具有高精度与强鲁棒性。
• 在多物理场辐射扩散问题中，即使逐个重建单一物理场，rKOI的平均L₂误差也低于1%，表明其具备强大的单物理场重建能力。
• rKOI方法在精度与计算效率上均优于堆叠DMD方法，尤其在具有强参数依赖性的问题中表现更优。
• rEPI方法在较高DMD阶数下性能下降，原因在于对Koopman特征对施加了严格的平滑性要求。
• rKOI方法在计算效率上显著优于堆叠DMD方法，且在多参数问题中展现出更优的可扩展性。
• 堆叠DMD方法在多参数情况下表现较差，且在仅有一个物理场可用于训练时，其效果明显弱于rKOI方法。