[论文解读] Parametric estimation of Lévy processes

H. Masuda|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 47被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于高采样频率的理论框架，用于对具有无限活动纯跳成分的 Lévy 过程进行参数估计。该框架在多种收敛速率下建立了显式估计函数的渐近正态性，并为统计随机场提供了统一的尾概率界。研究还对稳定和局部稳定 Lévy 过程的矩方法估计进行了详细分析。

ABSTRACT

The main purpose of this chapter is to present some theoretical aspects of parametric estimation of Lévy processes based on high-frequency sampling, with a focus on infinite activity pure-jump models. Asymptotics for several classes of explicit estimating functions are discussed. In addition to the asymptotic normality at several rates of convergence, a uniform tail-probability estimate for statistical random fields is given. As specific cases, we discuss method of moments for the stable Lévy processes in much greater detail, with briefly mentioning locally stable Lévy processes too. Also discussed is, due to its theoretical importance, a brief review of how the classical likelihood approach works or does not, beyond the fact that the likelihood function is not explicit.

研究动机与目标

• 开发一种理论基础坚实的、针对具有无限活动纯跳成分的 Lévy 过程的参数估计方法。
• 分析在高采样频率方案下显式估计函数的渐近行为。
• 为估计中出现的统计随机场提供统一的尾概率估计。
• 针对稳定和局部稳定 Lévy 过程，使用矩方法估计进行详细的案例研究。
• 阐明当似然函数难以计算时，基于似然的推断的局限性与可行性。

提出的方法

• 在时间跨度 $T_n \to \infty$ 上对 Lévy 过程路径进行高采样频率的离散采样。
• 基于增量 $\Delta^n_j Y = Y_{t^n_j} - Y_{t^n_{j-1}}$ 的经验矩，使用显式估计函数。
• 在增量分布的特征函数和矩生成函数满足一定条件时，推导出在 $\sqrt{T_n}$ 速率下的渐近正态性。
• 应用统计随机场的统一尾概率界，以控制估计中的随机波动。
• 分析 $h_n^{-1} \mathbb{E}_0[\varphi(X_{h_n})]$ 到其极限的收敛速率，以确保估计函数的一致性。
• 考虑特殊情形，如稳定 Lévy 过程，其 Lévy 测度具有解析可处理性，但过渡密度难以计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高采样频率下，无限活动 Lévy 过程的估计函数具有何种渐近性质？
• RQ2 当过渡密度难以计算时，稳定 Lévy 过程的矩方法估计量行为如何？
• RQ3 在何种条件下，可确保高采样频率下 Lévy 过程估计量在 $\sqrt{T_n}$ 速率下的渐近正态性？
• RQ4 如何为非似然估计中出现的统计随机场推导统一的尾概率界？
• RQ5 为何经典似然推断对许多 Lévy 过程不可行？其替代方法是什么？

主要发现

• 在适当的正则性和矩条件之下，估计函数在 $\sqrt{T_n}$ 速率下实现了渐近正态性。
• 对于稳定 Lévy 过程，即使过渡密度难以计算，矩方法估计量仍能实现渐近正态性。
• 为统计随机场推导出了统一的尾概率界，从而实现了对估计误差的非渐近控制。
• 在 $\varphi$ 具有光滑性和趋于零的条件下，$h_n^{-1} \mathbb{E}_0[\varphi(X_{h_n})]$ 到其极限的收敛速率被证明为 $O(h_n)$。
• 由于缺乏显式似然函数，基于似然的推断通常不可行，即使 $\mathcal{L}(X_1)$ 具有闭式密度也是如此。
• 扩散与跳分量共存使估计复杂化，需采用阈值法进行分离，但最优阈值选择仍是有限样本下的挑战。