[论文解读] Parametric inference and forecasting in continuously invertible volatility models

Olivier Wintenberger, Sixiang Cai|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2011

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 30被引用 3

一句话总结

本文通过为随机递归方程（SREs）提出一种新颖的连续可逆性框架，建立了连续可逆波动率模型中M-估计量的强一致性和渐近正态性。该研究首次为实践中用于EGARCH(1,1)模型的准极大似然估计程序提供了严格的理论依据，并在最小矩假设下推导出渐近正态性的必要与充分条件。

ABSTRACT

We introduce the notion of continuously invertible volatility models that relies on some Lyapunov condition and some regularity condition. We show that it is almost equivalent to the ability of the volatilities forecasting using the parametric inference approach based on the SRE given in [16]. Under very weak assumptions, we prove the strong consistency and the asymptotic normality of the parametric inference. Based on this parametric estimation, a natural strongly consistent forecast of the volatility is given. We apply successfully this approach to recover known results on univariate and multivariate GARCH type models and to the EGARCH(1,1) model. We prove the strong consistency of the forecasting as soon as the model is invertible and the asymptotic normality of the parametric inference as soon as the limiting variance exists. Finally, we give some encouraging empirical results of our approach on simulations and real data.

研究动机与目标

• 为解决自Nelson（1991）以来在非线性波动率模型（特别是EGARCH(1,1)）中广泛使用的准极大似然估计方法缺乏理论依据的问题。
• 引入并形式化基于紧致参数集的随机递归方程（SREs）驱动波动率模型的连续可逆性概念。
• 在新的连续可逆性条件下，证明M-估计量的强一致性和渐近正态性。
• 恢复GARCH类模型的已知结果，并将其推广至如EGARCH等非对称与非线性模型。
• 为EGARCH(1,1)模型中极限协方差矩阵的存在性提供必要与充分条件。

提出的方法

• 为SRE驱动的波动率模型引入在紧致参数集上连续可逆性的概念。
• 采用基于准极大似然（QLIK）准则的M-估计量框架，以保证一致性和渐近正态性。
• 通过新的SRE表述 $ (h(Σ_k))_{k\leq t} = \phi_t((h(Σ_k))_{k\leq t-1}, \theta_0) $ 实现基于观测数据 $X_t$ 的SRE收敛，替代传统的基于创新项的SRE。
• 利用L yapunov型条件和对数矩假设，确保在新框架下SRE的稳定性和可逆性。
• 应用泛函中心极限定理推导渐近正态性，依赖于得分函数的可微性及矩条件。
• 推导出EGARCH(1,1)模型中极限协方差矩阵的显式条件，表明 $\mathbb{E}[Z_0^4] < \infty$ 与 $\mathbb{E}[(\beta_0 - \frac{1}{2}(\gamma_0 Z_0 + \delta_0 |Z_0|))^2] < 1$ 为存在性的必要且充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在连续可逆波动率模型中，基于准极大似然的M-估计量在何种条件下具有强一致性与渐近正态性？
• RQ2 EGARCH(1,1)模型中极限协方差矩阵存在的必要与充分条件是什么？
• RQ3 如何从理论上解释实践中用于EGARCH(1,1)模型的准极大似然估计程序？
• RQ4 连续可逆性框架能否用于恢复GARCH类模型的已知结果？
• RQ5 在非线性波动率模型中，为确保估计量的渐近正态性，所需的最小矩条件与可微性条件是什么？

主要发现

• 在连续可逆性条件下，基于准极大似然准则的M-估计量具有强一致性和渐近正态性。
• 对于EGARCH(1,1)模型，极限协方差矩阵存在的充要条件为 $\mathbb{E}[Z_0^4] < \infty$ 与 $\mathbb{E}[(\beta_0 - \frac{1}{2}(\gamma_0 Z_0 + \delta_0 |Z_0|))^2] < 1$。
• 本研究首次为Nelson（1991）中用于EGARCH(1,1)模型的实证估计程序提供了严格的理论支持，此前该方法缺乏理论依据。
• 该框架能够恢复单变量与多变量GARCH模型的已知结果，此时M-估计量与经典QMLE一致。
• 当满足 $\mathbb{E}[\log \Lambda(\phi_t(\cdot, \theta))] < 0$ 条件且对数矩可积时，估计量的强一致性成立。
• 在SRE可微性与矩条件成立的前提下，渐近正态性结果成立，且当 $\theta_0$ 属于参数空间 $\Theta$ 的内部时，极限方差-协方差矩阵为可逆。